Coherente $G$ -sobre variedades algebraicas

Question

Sea $X$ sea una variedad algebraica (es decir, un esquema integral separado de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ ) y que $G$ sea un grupo finito de automorfismos de $X$ . Supongamos (como en el caso de las variedades cuasi proyectivas) que para cualquier $x$ en $X$ la órbita $G_x$ de $x$ está contenido en un subconjunto abierto afín de $X$ . Un resultado clásico afirma que existe un (único) $k$ -variedad $Y$ junto con un morfismo finito, suryectivo y separable $\pi \colon X\to Y$ tal que:

1) Como espacio topológico $(Y,\pi)$ es el cociente de $X$ por la acción de $G$ .

2)Existe un isomorfismo natural $\mathcal{O}_Y \to \pi_{*}(\mathcal{O}_X)^{G}$ .

En este contexto, dejemos que $\mathcal{F}$ sea una gavilla coherente en $Y$ . Dado que para cualquier $g$ en $G$ tenemos un diagrama conmutativo:

\begin{array}{ccc} X & \to^{g} & X \\ \downarrow^{\pi} & & \downarrow^{\pi}\\ Y & \to^{id} & Y \end{array}

debería haber un mapa entre $\pi^{*}\mathcal{F}$ y $\pi^{*}\mathcal{F}$ inducida por $g$ que es un automorfismo natural. Sin embargo, no entiendo muy bien qué se supone que hace el mapa... La conclusión es que $G$ actúa sobre el pullback de la gavilla $\mathcal{F}$ de forma compatible (con respecto a la acción sobre $X$ ), pero me cuesta imaginar qué ocurre realmente aquí, más allá de los argumentos formales. ¿Alguien puede explicarlo de forma más concreta?

P.D. Perdón por la mala $\TeX$ composición tipográfica: Supongo que el diagrama anterior debe entenderse como un triángulo conmutativo.

Answer 1

La consigna aquí es que las preguntas sobre la geometría (no equivariante) de $Y$ tienen respuestas procedentes del $G$ -geometría equivariante de $X$ .

Probablemente sea útil considerar primero el caso de un espacio topológico $X$ con una acción libre de un grupo finito $G$ y un haz vectorial $E$ en $Y=X/G$ . En este caso, el pullback es por definición el haz vectorial de pares $(x,e)$ donde $x \in X$ y $e$ está en la fibra de $e$ sobre la órbita de $x$ . El grupo $G$ actúa evidentemente sobre $X \times E$ a través de su acción sobre $X$ y este conjunto de pares es estable.

Ahora, para motivar la definición de $G$ -coherente equivariante, comencemos con un haz de fibras $E$ en un espacio topológico $X$ con una acción continua de un grupo topológico $G$ . Hay dos mapas $\pi,a:G \times X \rightarrow X$ la proyección $\pi$ en el segundo factor y el mapa de acción $a$ . Podemos tirar $E$ para obtener dos paquetes $\pi^*E$ y $a^*E$ en $G\times X$ . Concretamente, tenemos $$\pi^* E=\{(g,x,e) \ | \ e \in \text{fiber through} \ x \} \quad \text{and} \quad a^* E=\{(g,x,e) \ | \ e \in \text{fiber through} \ gx \},$$ y el mapa $\alpha:(g,x,e) \mapsto (g,x,ge)$ define un isomorfismo de $\pi^* E$ en $a^*E$ . La asociatividad para la acción de $G$ en $E$ y el hecho de que $1 \in G$ actúa por la identidad fuerza este mapa $\alpha$ para cumplir algunos requisitos adicionales, de los que estaré encantado de informarle si es lo que desea saber.

Esta es la definición oficial de $G$ -sobre $X$ que funciona en cualquier categoría geométrica (por ejemplo, esquemas o espacios algebraicos): es una gavilla sobre $X$ junto con un isomorfismo $\alpha:\pi^* E \rightarrow a^* E$ que satisfaga las condiciones adicionales correspondientes a $g(h(x))=(gh)(x)$ y $1 x=x$ .

A nivel de secciones, dada una $G$ -gavilla equivariante $E$ y una sección $f$ de $E$ sobre un subconjunto abierto $U$ de $X$ obtenemos una sección $gf$ de $E$ en $gU$ . Pero, por supuesto, queremos que esto varíe continuamente en $g$ , $f$ y $U$ y la definición que hemos indicado anteriormente empaqueta todo esto convenientemente.