Preguntas acerca de la tangente y la cotangente del paquete en los esquemas de

Question

En geometría diferencial, para un buen colector $M$ tenemos la definición de la tangente paquete y la cotangente del paquete y, a continuación, $k$- formas se definen (suave) secciones de la $k$-potencia exterior de este último.

En la geometría algebraica, decir $X$ es el espacio afín $\mathbb{A}_k^n=\operatorname{Spec}(k[x_1,\ldots,x_n])$, podemos hablar de la Zariski el espacio de la tangente en un punto de $x$ cual es, por definición,$T_xX=(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*$ ($\mathfrak{m}_x$ es el ideal maximal $\mathcal{O}_{X,x}$). He leído que esta definición no es la mejor, a menos que el punto de $x$ $k$- racional punto. De los otros puntos no existe el concepto de relación espacio de la tangente (ver por ejemplo https://www.math.ucdavis.edu/~blnli/edificios/bolsa.pd, página 151).

1) Mi primera pregunta es: Es que existe la noción de tangente paquete en la $X$ como una gavilla?

Volver a la geometría diferencial, que he leído en la wikipedia una buena definición de la cotangente del paquete: vamos a $M$ ser suave, un colector y deje $\mathcal{I}$ ser la gavilla de los gérmenes de las funciones lisas en M×M que se desvanecen en la diagonal $\Delta(M)\subseteq M\times M$, y definir la contangent bundle $T^*M$ como la gavilla $\Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$ (donde $\Delta:M\rightarrow M\times M$ es la diagonal del mapa). Esto me hace sospechar que una posible definición de la contangent espacio en un separado esquema de $X$ sobre un campo $k$ será el mismo.

2) mi segunda pregunta es: ¿es esta la definición de la cotangente de paquete correcto en la geometría algebraica?.

3) (Más urgente) hago estas preguntas porque durante la lectura de un documento que he encontrado en esta parte: "Vamos a $h:Y\rightarrow X=\operatorname{Spec}(k[x_1,\ldots,x_n])$ ser una de morfismos de integral y planes de considerar el divisor de $h^*(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)$ ... ". Les agradecería mucho si me ayudan a interpretar esta parte. ¿Qué es exactamente $dx_1\wedge\ldots \wedge dx_n$?, ¿por qué podemos obtener un divisor de a $h^*(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)$?.

Gracias de antemano!

Diego

Answer 1

(1) Sí, sin duda; y usted será capaz de ver que la fibra de $\Omega_{X/k}$ t $k$-racional punto es el antiguo espacio cotangente.

(2) Es más o menos el mismo, y no necesita el esquema (o de morfismos, relativamente hablando) a ser separados. Mira Hartshorne II.8, Vakil 21.2, o las Pilas de Proyecto para más detalles. Es una bonita construcción a nivel mundial y el hecho de que se le da a la espera de paquete en la geometría diferencial es útil para la motivación, pero sobre todo me veo como una manera limpia de pegar juntos los módulos de relativa diferenciales provenientes de álgebra conmutativa.

(3) El $k[x_1, \dots, x_n]$-módulo de $\Omega_{k[x_1, \dots, x_n]/k}$ gratis los símbolos $dx_i$, e $dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$ es por tanto una sección de la parte superior exterior de energía, que corresponde a una invertible gavilla en $\mathbb{A}^n_k$ (esto tiene que ser a nivel mundial trivial, pero eso no importa para lo que voy a decir). Tire hacia atrás de la sección para obtener una sección de la invertible gavilla $h^*\Omega_{\mathbb{A}^n_k/k}$ y tomar el divisor de que.

En general desde un morfismos de $k$-esquemas $f\colon X \to Y$ do obtener un pull-back $f^*\Omega_{Y/k} \to \Omega_{X/k}$ que se puede esperar de la geometría diferencial, pero a menos que la fuente en tu ejemplo es suave de la dimensión$n$, entonces no veo cómo obtener un divisor de esto.