El orden del centro de un grupo finito divide el orden del grupo

Question

PROPIEDAD Deja que$G$ sea un grupo finito. Luego, para cada grupo$P\subset G$, el orden de$P$ debe ser un múltiplo del orden de$G$.

¿Se mantiene la misma propiedad para el centro del grupo? Quiero decir, ¿es el orden de$Z(G)$ un múltiplo del orden de$G$?

Donde$Z(G)$ es el conjunto de elementos que conmutan con todos los demás elementos del grupo.

Answer 1

• Debido a$x1 = 1x$ para todos$x\in G$,$1\in Z(G)$.

• Asume$g\in Z(G)$ y deja$x\in G$. Entonces$$g^{-1}x = xg^{-1} \iff g(g^{-1}x) = g(xg^{-1}).$ $ Esto es cierto, ya que el lado izquierdo es$g(g^{-1}x) = (gg^{-1})x = 1x = x$ y el lado derecho es$g(xg^{-1}) = (gx)g^{-1} = (xg)g^{-1} = x(gg^{-1}) = x1 = x$. Asi que $g^{-1} \in Z(G)$.

• Deje$g,h\in Z(G)$ y$x\in G$. Luego, por los axiomas de grupo y la propiedad central$$(gh)x = g(hx) = g(xh) = (gx)h = (xg)h = x(gh).$ $ Así que$gh\in Z(G)$

Juntos, hemos demostrado que$Z(G)$ es un subgrupo de$G$ y, por lo tanto,$\lvert Z(G)\rvert $ divide$\lvert G\rvert$.

Answer 2

Sólo quiero para asegurarse de que conoce la siguiente terminología:

Decimos que un número entero $m$ divide un entero $n$ siempre $\ell=mk$ para algunos entero $k$ $\dfrac \ell m$ es un número entero.

Decimos que un número entero $m$ es divisible por $n$ siempre $m=\ell k$ para algunos entero $k$ $\dfrac m\ell $ es un número entero.

Por lo tanto, decir $m$ divide $\ell $ es lo mismo que decir $\ell$ es divisible por $m$.

Por lo tanto, el teorema se debe leer:

TEOREMA Deje $H\leq G$. A continuación, $|H|$ divide $|G|$ o $|G|$ es divisible por $|H|$. En particular >$$|G|=|G:H||H|$$