Si un espacio normado$X$ es reflexivo, demuestre que$X'$ es reflexivo.

Question

Si una normativa espacio de $X$ es reflexiva, muestran que $X'$ es reflexiva.

Supongamos $X$ es reflexiva. Entonces, por definición Canónica de la asignación de $J : X \to X''$ definido por $x \mapsto g_x$ donde $g_x(f) = f(x)$ es un isomorfismo. Queremos mostrar que la asignación de $J' : X' \to X'''$ definido por $f \mapsto h_f$ donde $h_f(g_x) = g_x(f)$ es un isomorfismo. Será suficiente para demostrar que $J'$ es sobre.

Yo no estoy seguro sobre qué hacer después de esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Algunas ideas:

1. Elija $h \in X'''$, entonces, por definición, $h : X'' \to \mathbb R$ es lineal y acotado funcional.
2. Trate de encontrar a $f \in X'$ $f$ tal que $f : X \to \mathbb R$ (lineal acotado funcional) de tal manera que la asignación de cannonical mapas de $f \mapsto h$, es decir, $J'(f) = h(f)$.

Answer 1

Si se proporciona$h \in X'''$, defina la función$\tilde h \in X'$ por$\tilde h(f) = h(J(f))$ para todos$f \in X$.

Para todos los$g \in X''$, tienes$$J'(\tilde h)(g) = g(\tilde h) = \tilde h(J^{-1}(g)) = h(g).$ $ Esto muestra que$J'(\tilde h) = h$.