Secuencia recursiva con coeficientes binomiales

Question

Tengo un #% definido forma recursiva de secuencia $\epsilon_i$% #% como sigue\begin{eqnarray} \epsilon_1 &=& \frac{1}{p}\ \epsilonn &=& \frac{1}{1-(1-p)^n}\left( 1 + \sum{j=1}^{n-1} \binom{n}{j}(1-p)^{j} p^{n-j}\epsilon_{j}\right) \end{eqnarray } $i\ge 1$. Quiero probar que $p \in (0,1)$ crece asintóticamente como $\epsilon_i$, pero todos mis intentos fallaron. Soy incapaz de obtener una forma cerrada para la secuencia. Sabe de trazado $\log i$ para valores de 1 a 50 que mi afirmación es verdadera. Cualquier sugerencia sobre cómo resolver este problema es bienvenida. En realidad solo me falta el valor $\epsilon_i$.

Esta secuencia se subió cuando calcula el valor esperado de una variable aleatoria.

Answer 1

Actualización: fijo $n$, la función de $x\mapsto 1-(1-q^x)^n$ es la disminución en $x>0$, y por lo tanto $$\epsilon_n\geq \int^\infty_0 1-(1-q^x)^n\,dx\geq \epsilon_n-1.$$

Ahora, con un cambio de variables $x=w \log(n)$, la integral se convierte en $$\int^\infty_0 1-(1-q^x)^n\,dx=\log(n) \int_0^\infty 1-\left(1-{1\over n^{w \log(1/q)}}\right)^n\,dw.$$ El integrando converge a 1 si $w < 1/\log(1/q)$ y cero si $w > 1/\log(1/q)$. Dominado por la convergencia $$\int_0^\infty 1-\left(1-{1\over n^{w \log(1/q)}}\right)^n\,dw\to1/\log(1/q),$$ y podemos deducir que asintóticamente $$\epsilon_n\approx \log(n)/\log(1/q).$$

---

Empezar con $n$ independiente monedas con una probabilidad de $p$ de la muestra jefes. Mezcle todos ellos, y dejar de lado aquellas que muestran los "jefes". Retoss el resto de monedas, y repita hasta que todas las monedas muestran los "jefes". Su $\epsilon_n$ que se espera que el número de ensayos en este experimento.

Aquí es una fórmula explícita: $$\epsilon_n=\sum_{j\geq 1}{n\choose j}(1-q^j)^{-1}(-1)^{(j+1)}=\sum_{k\geq 0}[1-(1-q^k)^n], $$ donde $q=1-p$. Quizás el asymptotics puede ser derivada a partir de esta expresión.

En la referencia dada a continuación el autor dice que "Un gráfico de los datos en la TABLA 2 sugiere fuertemente que E[Y] (es decir, su $\epsilon_n$) es una función logarítmica de la $n$." Pero no existe prueba que se ofrece.

Lanzando Monedas Hasta Que Todos Son Jefes por Juan Kinney en Las Matemáticas De La Revista, Vol. 51, Nº 3 (Mayo de 1978), pp 184-186.