Grupo ortogonal de un espacio del vector cuadrático

Question

Estoy leyendo sobre el Grupo ortogonal $O(V)$ del real finito dimensional espacio del vector cuadrática $(V,Q)$ con $Q$ nondegenerate. ¿Por determinación del $$O(V)={f:V\mapsto V |\quad Q(f(v))=Q(v) \quad \forall v\in V}.$$ I don't know if this definition is enough to derive that $O (V) \subset GL (V) $. Also can we imply from definition that $|\det (f) |=1$ for every $f\in V$? (Para el caso $V$ es positiva definida, es decir, la forma bilineal asociada a $Q$ es un producto interno, es cierto, pero no sé en general caso.)

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Una forma cuadrática $Q$ puede ser dada por una matriz simétrica $A$ $$Q(x)=x^TAx\,.$$ Este ser no degenerada significa que $A$ es invertible, es decir,$\det A\ne 0$.

Como te comento, $Q$ determina una degenerada (pero no necesariamente positiva definida) forma bilineal $B$: $$B(x,y):=\frac12(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))\,.$$ Por lo tanto, $B(x,y)=x^TAy$.

Si $f:V\to V$ es lineal y preserva $Q$ ( $f\in O(V,Q)$ ), entonces también se preserva $B$, por lo tanto, también la escritura $f$ de su matriz (w.r.t. un fijo de base de $V$), $$x^Tf^TAfy=(fx)^TA(fy)=x^TAy$$ para todos los $x,y$. Aplicación a los vectores de la base, que implica que $f^TAf=A$. Así, también tenemos $$(\det f)^2\cdot\det A=\det A$$ y, por tanto,$|\det f|=1$$\det A\ne 0$.