Determinante de una matriz especial$n\times n$

Question

Calcule el determinante de la matriz de monjas: $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 2 & \ldots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 &\ldots & 2 \end {pmatrix} $$

Para$n=2$, tengo $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end {pmatrix} $$

Entonces $det = 3$.

Para$n=3$, tenemos $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \\ \end {pmatrix} $$

Entonces $det = 4$.

Para$n=4$ otra vez tenemos

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 2 \end {pmatrix} $$ Luego$det = 5$

¿Cómo puedo probar que el determinante de la matriz de monjas es$n+1$?

Answer 1

Un resultado estándar ( http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_determinant_lemma ) es$\det(I+AB) = \det(I+BA)$.

Ya que la matriz anterior se puede escribir como$I+ e e^T$, donde$e$ es un vector de unos, tenemos$\det(I+ e e^T) = \det(1+ e^T e) = 1+e^Te = n+1$.

Answer 2

Deje$$v=(1,1,1,1...1)^T$ $

Su matriz es $$ I + vv ^ T $$ Esto tiene$n-1$ valores propios iguales a$1$ y uno con valor$n+1$. De ahí el resultado.

Answer 3

Sin embargo, otra manera de hacerlo: tenga en cuenta que las matrices son de la forma $I + J$ donde $J$ es la matriz de cada entrada de la que es $1$. Tenemos $J^2 = nJ$ por un fácil cálculo; por lo tanto los autovalores de a$J$$0$$n$. El autoespacio correspondiente a $n$ es el unidimensional subespacio generado por el vector $v = (1, 1, ... , 1)^T$; desde $\ker J$ se compone de los vectores $w = (w_1, w_2, . . ., w_n)^T$$\sum_1^n w_i = 0$, el subespacio propio correspondiente a $0$ es de dimensión $n - 1$; estas observaciones implican el al $J$, siendo simétrica, es diagonalized se obtiene una matriz con $n$ se producen precisamente en un lugar de la diagonal, y ceros en todas las demás. Así vemos que la multiplicidad de $0$ como un autovalor es $n - 1$; la de $n$$1$. Ahora uso el hecho de que desde $Jx = ax \Leftrightarrow (J + I)x = (a + 1)x$ a ver que los autovalores de a$I + J$$n + 1$, de la multiplicidad $1$, e $1$ de la multiplicidad $n - 1$. Por lo tanto $\det (J + I)$, siendo el producto de estos valores propios, es $n + 1$.

Espero que esto ayude. Feliz Año Nuevo,

y como siempre,

Fiat Lux!!!