Cuántos números$5$ se pueden formar a partir de los enteros$\{1,2,...,9\}$ si ningún dígito puede aparecer más de dos veces (por ejemplo, 41434 no está permitido)
Mi enfoque es: ya que,$max $ 2 $ dígitos pueden repetirse:$=9\times9\times8\times7\times6$
Números totales$=27216$.
Mis preguntas:
1) ¿Es este enfoque correcto?
2) ¿Necesitamos agregar el número total de dígitos distintos o ya está incluido? Por favor aconseje las mejores maneras de resolver este tipo de preguntas.
Sin la restricción, la respuesta sería$9^5$.
Para cada forma de distribuir los dígitos$3$,$4$ y$5$ en las cinco posiciones, tenemos que excluir todos los números con esas posiciones fijas a cualquiera de los nueve dígitos.
Así, la respuesta final es
$$ 9 ^ 5 - 9 \ times \ binom {5} {3} \ times 8 ^ 2 - 9 \ times \ binom {5} {4} \ times 8 ^ 1 - 9 \ times \ binom {5} {5 } \ veces 8 ^ 0 = 52920 $$
Los 5 dígitos me recuerdan al poker! En lugar de tarjetas, elegimos #s, y permutamos las "manos"
Dos pares: $2-2-1:{9\choose 2}\cdot{7\choose 1}\cdot 5!/(2!2!)= 7560$
Un par: $2-1-1-1: {9\choose 1}\cdot{8\choose3}\cdot 5!/2! = 30,240$
Sin pareja: $1-1-1-1-1: {9\choose 5}\cdot5!= 15,120$
Suma para obtener la respuesta = 52,920
Puede ser mejor para contar la cantidad de hacer repetir al menos tres de los mismos, ya que cada número se repite en más de un dígito más de dos veces que esto es fácil.
¿Cuántos números de repetir los dígitos $1$ al menos tres veces?
Si hay exactamente $3$ existen $\binom{5}{3}$ formas para elegir las posiciones de los unos y, a continuación, $8\cdot8$ maneras de llenar las otras posiciones, por lo $10\cdot64$ total.
Si hay cuatro que hay $5$ formas para elegir la posición de los otros dígitos y, a continuación, $8$ opciones para que los dígitos, por lo $40$ total.
Si hay $5$ que es claramente sólo una opción.
Por lo tanto, hay $640+40+1=681$ que tienen al menos tres. Por lo tanto, hay $9\cdot681=6129$ que repetir un dígito más de dos veces.
Por lo tanto, hay $9^5-6129=52920$ que no.
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