Si$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n(n-1)/2} n!}$, entonces$f^{-1}(f(x)-f(x-1))-\frac{x}{2}$ está delimitado

Question

Para cada$x>0$, deje que$$f(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{2^{n(n-1)/2} n!}.$ $ sea$f^{-1}$ la inversa funcional de$f$.

Cómo mostrar que existe una constante real positiva$C$ tal que, para todos$x$,$$\left(f^{-1}\left(f(x)-f(x-1)\right)-\frac{x}{2}\right)^2 < C $ $

Edición: creo que esto es cierto porque$f'(x) = f(x/2)$.

Answer 1

Supongamos que$x\gt1$ entonces$f'(t)=f\left(\frac{t}2\right)$ para cada$t\gt0$ y$f$ está aumentando en el intervalo$\left(\frac{x-1}2,\frac{x}2\right)$ por lo tanto$$f(x)-f(x-1)=\int_{x-1}^xf'(t)\mathrm dt=\int_{x-1}^xf\left(\tfrac{t}2\right)\mathrm dt,$$ yields $% #% PS