Hay una función que da el mismo resultado para un número y su recíproco?

Question

Hay una (no a trozos, no trivial) función de donde $f(x) = f(\frac{1}{x})$?

Por qué?

Sería bueno comparar proporciones sin preocuparse por el orden del numerador y del denominador. Por ejemplo, yo quisiera saber si la "magnitud" de la relación (tal vez la "absoluta ratio") de los anchos de los dos objetos es mayor que $2$, pero no cuidado, que es más grande.

Se me ocurrió que hay una solución común a este problema, que al comparar la diferencia de dos números: el cuadrado de un número es igual al cuadrado de su opuesto - $(a-b)^2=(b-a)^2$. Esto es realmente útil con distancias Euclídeas, porque usted no tiene que preocuparse acerca de la orden de sustracción o uso de valores absolutos. ¿Se puede conseguir la misma elegancia de las proporciones?

Diferencia: $g(a-b)=g(b-a) \rightarrow g(x)=x^2$

Ratio: $f(\frac{a}{b})=f(\frac{b}{a}) \rightarrow f(x)=\ ?$

Answer 1

$$ \frac{x}{x^2+1} $$ el inverso de la Voluntad Jagy $x + \frac{1}{x}$.

Me gusta $$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2-1}{x}$$ porque contiene señal de información (entrada de magnitud mayor o menor que uno) que usted puede elegir ignorar, y le da una agradable cero para $x = \frac{1}{x} = \pm 1$. Si usted decide tomar el valor absoluto de (ignorando el signo) que le da la deseada $f(x) = f(\frac{1}{x})$

Answer 2

A falta de una mejor idea, $f(x)=|\ln x|$.

Answer 3

$$ \frac{1}{1 + x + \frac{1}{x}} = \frac{x}{x^2 + x + 1} $$ se extiende a lo real de la analítica de la función escrita en el derecho. Observe que $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}. $

Answer 4

Por falta de algo peor que esto, $f(x)=(x - \frac{1}{x})^2$.

Answer 5

Deje $f(x)$ ser arbitraria para $-1\leqslant x\leqslant 1,$ y definen $f(x):=f(1/x)$ lo contrario.