La covarianza plazo en la regresión lineal simple

Question

Estoy tratando de obtener la expresión para la varianza de $\hat{\beta_0}$ en la regresión lineal simple. Yo sustituto $\bar{y} - \hat{\beta_1} \bar{x}$$\hat \beta_0$, pero en los pasos intermedios de la covarianza plazo $\text{Cov}(\bar{y}, \hat{\beta_1})$ viene de arriba y no sé cómo lidiar con ella. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

$$ {\rm Cov}\bigg[\frac 1 n \sum y_i,\ \frac{\sum(x_i - \bar x)y_i}{\sum(x_i-\bar x)^2}\bigg] = \frac 1 n \times \frac{\sum(x_i-\bar x)\sigma^2}{\sum(x_i - \bar x)^2} = 0 $$