Dejemos que $\mathbf{K}$ sea una extensión de Galois finita de $\mathbf{Q}_p$ que contiene el $p$ -raíces de la unidad y que $\mathfrak{p}$ denota el único primo de $\mathbf{K}$ que se encuentra en la parte superior $p$ . Para cada $n \geq 1$ consideramos la extensión $\mathbf{K}_n$ = $\mathbf{K}(\zeta_{p^{n+1}})$ , donde $\zeta_{p^{n}}$ denota el $p^n$ -raíz de la unidad y los siguientes objetos unidos a $\mathbf{K}_n$ :
- $\mathfrak{p}_n$ es el único primo en $\mathbf{K}_n$ que se encuentra en la parte superior $p$ ;
- $U_1(\mathbf{K}_n)$ es el grupo de unidades en $\mathbf{K}_n$ que son 1 módulo $\mathfrak{p}_n$ ;
- $U_n'$ es el subgrupo de $U_1(\mathbf{K}{_n})$ formado por aquellas unidades cuya norma a $\mathbf{Q}_p$ es igual a 1.
Estoy tratando de establecer si el mapa de la norma $N_{\mathbf{K}_n/\mathbf{K}_m}:U_n' \to U_m'$ es suryente para todo $n \geq m$ . Para resolver esto utilizando la teoría de campos de clases, me parece que es relevante establecer primero si las extensiones $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ están muy ramificados o no. Así que otra pregunta (elemental) es si $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ es, en efecto, muy ramificado o no. Este post ( https://mathoverflow.net/questions/136052/cyclotomic-extension-of-p-adic-fields ) muestra que, con más precaución que en el caso de $\mathbf{Q}_p(\zeta_{p^{n+1}})/\mathbf{Q}_p(\zeta_p)$ es necesario, pero uno de los comentarios también dice que $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ se ramifica salvajemente para todos $n$ lo suficientemente grande. ¿Por qué es este caso?