raíces de la unidad, ramificación salvaje y unidades de norma uno en campos locales

Question

Dejemos que $\mathbf{K}$ sea una extensión de Galois finita de $\mathbf{Q}_p$ que contiene el $p$ -raíces de la unidad y que $\mathfrak{p}$ denota el único primo de $\mathbf{K}$ que se encuentra en la parte superior $p$ . Para cada $n \geq 1$ consideramos la extensión $\mathbf{K}_n$ = $\mathbf{K}(\zeta_{p^{n+1}})$ , donde $\zeta_{p^{n}}$ denota el $p^n$ -raíz de la unidad y los siguientes objetos unidos a $\mathbf{K}_n$ :

• $\mathfrak{p}_n$ es el único primo en $\mathbf{K}_n$ que se encuentra en la parte superior $p$ ;
• $U_1(\mathbf{K}_n)$ es el grupo de unidades en $\mathbf{K}_n$ que son 1 módulo $\mathfrak{p}_n$ ;
• $U_n'$ es el subgrupo de $U_1(\mathbf{K}{_n})$ formado por aquellas unidades cuya norma a $\mathbf{Q}_p$ es igual a 1.

Estoy tratando de establecer si el mapa de la norma $N_{\mathbf{K}_n/\mathbf{K}_m}:U_n' \to U_m'$ es suryente para todo $n \geq m$ . Para resolver esto utilizando la teoría de campos de clases, me parece que es relevante establecer primero si las extensiones $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ están muy ramificados o no. Así que otra pregunta (elemental) es si $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ es, en efecto, muy ramificado o no. Este post ( https://mathoverflow.net/questions/136052/cyclotomic-extension-of-p-adic-fields ) muestra que, con más precaución que en el caso de $\mathbf{Q}_p(\zeta_{p^{n+1}})/\mathbf{Q}_p(\zeta_p)$ es necesario, pero uno de los comentarios también dice que $\mathbf{K}_n/\mathbf{K}$ se ramifica salvajemente para todos $n$ lo suficientemente grande. ¿Por qué es este caso?

Answer 1

Permítame intentar responder sucesivamente a sus dos preguntas:

1) Sobre la "ramificación salvaje" en la extensión ciclotómica $K_n/K$ (sus anotaciones). Será conveniente introducir el ciclotómico $\mathbf Z_p$ -extensión $K_{cyc} = \cup K_n$ que es Galois sobre $K$ con grupo isomorfo a $(\mathbf Z_p, +)$ . El subgrupo de inercia $I$ es necesariamente de la forma $p^a\mathbf Z_p$ y $a=0$ si $K_{cyc} /K$ está totalmente ramificado. Pero, en términos de @Lubin, "algún comportamiento no ramificado [podría estar] arrastrándose", más precisamente la intersección $K_I = K_{cyc} \cap K_{nr}$ podría ser mayor que $K$ , donde $K_{nr}$ denota el sin clasificar $\mathbf Z_p$ -extensión de $K$ . En la situación kummeriana aquí (es decir $K$ contiene $\zeta_p$ ) no es difícil determinar $K_I$ de forma inductiva. Anotaciones : déjese $e'_K =\frac 1 {(p-1)}ord_k (1-\zeta_p)$ (es un número entero); para $x \in K^*$ , defina $def_K (x) =$ max $ord_K (y-1)$ para todos $y \in$ la clase de $x$ mod $(K^*)^p$ ("def" es por "defecto"). Se demuestra fácilmente que una extensión cíclica de grado $p$ , $L=K(\sqrt [p]x)$ es no ramificado si $def_K (x) = pe'_K$ (1). Si $L$ no está ramificado, repite el proceso al sustituir $K$ por $L$ y así sucesivamente hasta llegar a $K_I$ .

2) Dado $n$ , quiere demostrar que la norma $U'_m \to U'_n$ (sus anotaciones) es suryente para todo $m \ge n$ . Para facilitar las anotaciones, tome primero $K_n$ para ser el campo base $K$ . Entonces la intersección $\mathcal N_K :=\cap N_{K_n/K}(K_n^*)$ se llama (por razones obvias) el subgrupo de "normas universales (ciclotómicas)" de $K_{cyc}/K$ . Supongamos, para simplificar, que $p$ es impar (en caso contrario, sustituir $p$ por $4$ Por Kummer y la CFT local (2), se sabe que $x\in \mathcal N_K$ si $N_{K/\mathbf Q_p}(x) \in p^{\mathbf Z}$ . Restringiendo a las unidades principales, se obtiene que $\mathcal N_K \cap U_1 (K) = U'_K$ . Esta conclusión es, por supuesto, válida a cualquier nivel $K_n$ . Finalmente, se puede demostrar por argumentos directos de compacidad local la subjetividad de la norma $\mathcal N_{K_m} \to \mathcal N_{K_n}$ para todos $m\ge n$ (2). Así que ya está hecho.

Referencias. (Doy los más antiguos que conozco)

(1) B. Wyman: Wildly ramified Gamma extensions, Amer. J. of Math., 91, 1 (1969). Véase thm.11

(2) F. Bertrandias & J-F. Payan: Gamma extensions et invariants cyclotomiques, Ann. Sci. ENS, 4, 5 (1972). Véase el tm.B + la prueba de la proposición 2.1, y el ejemplo que sigue a la proposición 1.3