$A\in M_n(\mathbb{Q})$ satisfacer $A^5=I$, y 1 no es un autovalor.

Question

Por favor ayudarme a encontrar la respuesta para la siguiente tarea:

Demostrar, que $A\in M_n(\mathbb{Q})$ satisfacer $A^5=I$, y 1 no es un autovalor. Mostrar, que $4 \mid n$

Answer 1

Si $P(x)=x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$P(A)=0$.
Probar que:

• $A-I$ es invertible,
• Si $Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$Q(A)=0$,
• $Q(x)$ es irreducible sobre $\mathbb Q$,
• Si $\chi_A(x)$ es el polinomio característico de a $A$ $\chi_A(x)=Q^k(x)$ algunos $k\in\mathbb N$.

Ahora comparar los grados de $\chi_A(x)$$Q(x)$.

Answer 2

Debido a $P(A)=0$ con $P(X)=X^5-1$, $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$. Así que podemos escribir la $\mathbb{C}^n = E_1 \oplus E_2 \oplus E_3 \oplus E_4$ donde $A$ es homothetic de coeficiente de $\lambda_k= e^{i2k\pi/5}$$E_k$.

Debido a $Q$ es real, $E_3= \overline{E_2}$$E_4=\overline{E_1}$, por lo tanto $\dim(E_1)=\dim(E_4)$$\dim(E_3)=\dim(E_2)$.

Por otra parte, $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^4 \lambda_i \dim(E_i)=\text{tr}(Q) \in \mathbb{Q}$. Debido a $\displaystyle \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)= \frac{1+\sqrt{5}}{4}$, es equivalente a $\dim(E_1)=\dim(E_2)$.

Por lo tanto, $n=\dim(\mathbb{C}^n)= \dim(E_1)+\dim(E_2)+ \dim(E_3)+\dim(E_4)= 4 \dim(E_1)$; por lo tanto $4 \mid n$.