Área de la superficie del elipsoide $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}+z^2=1$

Question

Mi profesor nos dio esta pregunta en un cálculo II de la prueba. Uno de mis cálculo III pals me sugirió el uso de las integrales de superficie, pero que la herramienta no está disponible para nosotros (no sé cómo utilizarlo sin embargo, ni mis compañeros de clase). Sólo sabemos cómo utilizar la superficie de la fórmula del área de una curva de girar alrededor de una línea o eje, que es

S= $\int_a^b 2π*f(x)*\sqrt{1+f'(x)^2} dx$

Área de la superficie del elipsoide $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}+z^2=1$

Hemos tratado de encontrar una ecuación para la curva de la elipse y girar sobre el eje x, la eliminación de la variable $z^2$ y la solución de $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ para y, que arrojó $y=\sqrt{8-\frac{x^2}{2}}$ Podemos entonces resolver para encontrar donde la curva cruzó el eje de las x, en -4 y 4. A continuación, tomamos la derivada de y conectado todos los componentes en la fórmula de arriba. De alguna manera, no estamos obteniendo una respuesta correcta. Si alguien sabe de un enfoque diferente podríamos tratar, por favor háganoslo saber!

Además, si usted puede modificar la ecuación, de modo que hay un coeficiente de $z^2$ que hace que el problema solucionable, que puede ser capaz de tratar a partir de allí.

Gracias!

Answer 1

deje $x=4\sin{u}\cos{v},y=2\sqrt{2}\sin{u}\sin{v},z=\cos{u}$. entonces $$E=x''_{u}+y''_{u}+z''_{u}=16\cos^2{u}\cos^2{v}+8\cos^2{u}\sin^2{v}+\sin^2{u}$$ $$F=x''_{v}+y''_{v}+z''_{v}=16\sin^2{u}\sin^2{v}+8\sin^2{u}\cos^2{v}$$ $$G=x'_{u}x'_{v}+y'_{u}y'_{v}+z'_{u}z'_{v}=-16\sin{u}\cos{u}\sin{v}\cos{v}+8\sin{u}\cos{u}\sin{v}\cos{v}$$ así \begin{align*}EG-F^2&=(128\cos^2{u}+16\sin^2{u}\sin^2{v}+8\sin^2{u}\cos^2{v})\sin^2{u}\\ &=8\sin^2{u}+120\sin^2{u}\cos^2{u}+8\sin^4{u}\cdot \sin^2{v} \end{align*} así que el área de Superficie es $$I=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{8\sin^2{u}+120\sin^2{u}\cos^2{u}+8\sin^4{u}\cdot \sin^2{v}}dvdu$$ a continuación, utilice integral Elíptica

Answer 2

La normal a la superficie es $$ \left(\frac x8,\frac y4,2z\right) $$ La relación de la componente normal a la $z$-componente es $$ \frac{\sqrt{\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}+4z^2}}{2z} $$ Por lo tanto, el uso de $z^2=1-\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}8$, el área de la superficie $$ \begin{align} &2\iint_{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}\lt1}\frac{\sqrt{4-\frac{15x^2}{64}-\frac{7y^2}{16}}}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}8}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^4\int_0^{\sqrt{8-\frac{x^2}2}}\sqrt{\frac{256-15x^2-28y^2}{16-x^2-2y^2}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt2\int_0^4\int_0^{\sqrt{16-x^2}}\sqrt{\frac{256-15x^2-14y^2}{16-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x \end{align} $$ En el último paso, hemos sustituido $y\mapsto y/\sqrt2$.

Numéricamente, esto es $83.974845470544$, pero no tengo una forma cerrada para la integral.

A menos que me falta la clave de algunos de simplificación, esto parece un poco avanzado para Calc II.