Expresión polinómica de $\frac{\sin x}{x}$

Question

¿Podría explicarme por qué

$$\frac{\sin x}{x} =\left(1-\frac{x^2}{\pi ^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(2 \pi) ^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{(3 \pi )^2}\right)\cdots$$

He leído en este artículo http://twoplusonet.wordpress.com/2011/06/24/an-elegant-result/

que en primer lugar escribimos

$$\frac{\sin x}{x}\text{ as a polynomial }k\left(1-\frac{x}{a_1}\right)\left(1-\frac{x}{a_2}\right)\left(1-\frac{x}{a_3}\right)\cdots\tag{*}$$

Entonces, debido al hecho de que el pecado $x$ tiene sus raíces en $_-^+ \pi, _-^+ 2\pi,\ldots$ podemos escribir

$$k\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2 \pi}\right)\cdots\tag{**}$$

Desde $\lim _{x\rightarrow 0} \frac {\sin x}{x}=1$ tenemos $k=1$ . Utilizando la diferencia de dos cuadrados obtenemos la fórmula anterior.

Mi pregunta es: (¿por qué) es suficiente? En el artículo mencionado anteriormente el autor dice que entre escribir $\frac{\sin x}{x}$ como un polinomio * y (**) hacemos un "pequeño salto de fe (y dejamos que los analistas se ocupen de las consecuencias)". ¿Significa eso que se ha omitido algo aquí?

Answer 1

El resultado es en realidad bastante profundo.

La función $\sin(x)$ se extiende al plano complejo como la función $z\mapsto \sin z = \frac{\exp(iz) - \exp(-iz)}{2}$ donde $\exp$ es la exponencial compleja. Esta función es en particular holomorfa en todo el plano complejo.

Como tiene un cero simple en $z = 0$ podemos dividir $\sin(z) / z$ para recuperar otra función holomorfa en el plano complejo. Entonces podemos aplicar la Teorema de factorización de Weierstrass (de hecho, la forma Hadamard), utilizando que por definición $\sin z$ tiene orden 1 como función entera, lo que implica que

$$\frac{\sin(z)}{z} = G(z) \cdot \prod_{k = 1}^\infty \left( 1 - \frac{z^2}{(k\pi)^2}\right)$$

donde $G(z) = \exp (az + b)$ es una función entera que no desaparece en ninguna parte. Observando que $\sin z / z$ es una función par de $z$ (es decir: $\sin(-z)/(-z) = \sin z / z$ ) vemos que $G(z)$ debe ser uniforme, lo que requiere que $a = 0$ . La constante $b$ puede fijarse evaluando ambos lados en $z = 0$ .