Cómo obtener la distribución de la variable x condicionada a x + y

Question

La pregunta es de un ejemplo típico para el algoritmo EM.

Digamos que$(y_1,y_2,y_3)$$\sim$$\text{multinomial}(n;p_1,p_2,p_3)$, donde$p_1+p_2+p_3=1$.

¿Cómo podemos derivar la distribución condicional de$y_2$ dado$y_2+y_3=n$?

La respuesta es $y_2|y_2+y_3 \sim \text{binomial}(n, p_2/(p_2+p_3)$).

¿Alguna idea de cómo derivar esto rigurosamente?

Answer 1

Aquí hay un resultado más general; El tuyo es el caso especial$m=0$:

Si$Y_1,Y_2,Y_3$$\sim$$\text{multinomial}(n;p_1,p_2,p_3)$ entonces la distribución condicional de$Y_2$ dada
$Y_1=m$ $(m\leq n)$ es $\text{binomial}( n-m, p_2/(p_2+p_3) )$:

\begin{eqnarray} p( Y_2=y_2| Y_1=m) &=& p(Y_2=y_2, Y_1=m)/ P(Y_1=m)\\ &=&\frac{\binom{n}{m}\binom{n-m}{y_2} p_2^{y_2} p_3^{n-m-y_2}p_1^m } {\binom{n}{m} p_1^m (p_2+p_3)^{n-m}}\\ &=&\binom{n-m}{y_2} p_2^{y_2} p_3^{n-m-y_2} /(p_2 + p_3)^{n - m} \end {eqnarray}