¿Por qué ' t diagonalisable todas las matrices?

Question

Me pregunto cuál es la diferencia entre las formas canónicas de una matriz son; en particular, por lo que no son todos equivalentes a los de la diagonal de las matrices. Por ejemplo, sabemos que todas las matrices tienen una forma triangular superior. Si utilizamos elementales de fila y columna de las operaciones, entonces no la matriz de convertirse en diagonal? No está seguro de cómo esto cambia diagonalisability, desde el pre y post-multiplicación de matrices son todavía cuadrados y invertible.

Lo mismo para otras formas canónicas como la Forma Normal de Jordan. Bajo esta lógica, ¿por qué no todas las matrices diagonalisable? Tengo la definición de diagonalisability mal?

Answer 1

La diferencia es que diagonalización requiere que usted haga el cambio de variables en el dominio y el codomain. Por otra parte, hacer "operaciones elementales de fila y columna" puede interpretarse como cambio de la base sólo en uno de estos espacios.

Answer 2

Un ejemplo representativo de una matriz no diagonalizable sería sólo

$$A := \begin{pmatrix}0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Si entiendes este ejemplo, entonces en principio esencialmente entiendes el general del caso, ver la forma canónica de Jordan.

Jugar con él y ver si puede conseguir una sensación para él. Una cosa para notar aquí es: si dejas

$$v := \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$$

entonces $A v \neq 0$ $A^2 v = 0$. ¿Una matriz diagonal no algo como eso a un vector?

Answer 3

Sí, usted está cometiendo un error. Una matriz de $A$ ser diagonalizable significa que usted puede encontrar una matriz invertible $S$, de modo que $SAS^{-1} = D$ $D$ una matriz diagonal. Decimos que hemos conjugado $A$ $S$ conseguir $D$. La intuición geométrica aquí es que la conjugación cantidades para la escritura de la matriz $A$ en una base diferente (lo que significa que ahora pedimos a expresar $A e_i$ en términos de la misma base $e_i$). La fila y la columna de operaciones que describen la cantidad de cambio de base dos veces, una en el lado del dominio, y una vez en el co-dominio de lado (lo que significa que estamos expresando $A e_i$ en términos de una base diferente a $f_i$). (Como Jonas acaba de publicar.)

He aquí algunos ejercicios:

1. Muestran que la fila de las operaciones puede ser logrado mediante la multiplicación por una primaria de la matriz de la izquierda. Muestran que las operaciones de columna se puede lograr mediante la multiplicación por una primaria de la matriz de la derecha.
2. Demostrar que la matriz de $[[1, i],[i,-1]]$ no es diagonalizable. (Sugerencia: ¿Cuál debe ser la autovalores ser?)

Tampoco es cierto que todas las matrices son superiores triangulazable - esto es cierto sólo sobre $\mathbb{C}$. (O de otros algebraicamente cerrado de campo. Usted necesidad de garantizar la existencia de un autovector, por lo que necesita para ser capaz de resolver ecuaciones polinómicas. Como un contra-ejemplo, usted puede tomar la rotación de 120 grados de la matriz en $R^2$.)