Sustituyendo tan(x)2=t, la división de la integral en los intervalos de (0,1)(1,∞), la sustitución de t=e−u en la primera integral, y t=eu en el segundo, la adición de las dos integrales y la observación de la simetría de la resultante integrando el que permite ampliar la integral de −∞ ∞conduce a la integral, que yo siempre en mi comentario:
I=1π∫∞−∞1(uπ+πu)2cosh(u2)du
Que el tiempo me había atrapado en este punto.
Pero en el mientras tanto, los próximos pasos han sido descritos por Jack D'Aurizio. Aquí tengo que llevar a cabo esos pasos de forma explícita.
- Sustitución de la cosh plazo por su transformada de Fourier, es decir,
1cosh(u2)=∫∞−∞sech(πt)exp(−itu)dt
- Intercambiando el orden de integración se puede realizar la uintegral:
1π∫∞−∞exp(−itu)(uπ+πu)2du=12πe−π|t|(1−π|t|)
- Ahora la final tintegral da
∫∞−∞12(πe−π|t|(1−π|t|))sech(πt)dt=∫∞0πe−πt(1−πt)sech(πt)dt=log(2)−π224
Observar, finalmente, que ζ(2)=π26 hemos encontrado el resultado para ser probado. QED.