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Integral curiosa,8ππ/20cos2xln2(tan2x)[π2+ln2(tan2x)]2dx=ln214ζ(2)

Cómo mostrar eso,

PS

Esta integral es un extracto de este artículo de la línea de Olivier Oloa $$8\pi\int_{0}^{\pi/2}\cos^2x\cdot{\ln^2(\tan^2 x)\over [\pi^2+\ln^2(\tan^2 x)]^2}\mathrm dx=\ln 2-{1\over 4}\zeta(2)$

No tengo ideas de por dónde empezar, ninguna ayuda!

2voto

Dr. Wolfgang Hintze Puntos 161

Sustituyendo tan(x)2=t, la división de la integral en los intervalos de (0,1)(1,), la sustitución de t=eu en la primera integral, y t=eu en el segundo, la adición de las dos integrales y la observación de la simetría de la resultante integrando el que permite ampliar la integral de conduce a la integral, que yo siempre en mi comentario:

I=1π1(uπ+πu)2cosh(u2)du

Que el tiempo me había atrapado en este punto.

Pero en el mientras tanto, los próximos pasos han sido descritos por Jack D'Aurizio. Aquí tengo que llevar a cabo esos pasos de forma explícita.

  1. Sustitución de la cosh plazo por su transformada de Fourier, es decir,

1cosh(u2)=sech(πt)exp(itu)dt

  1. Intercambiando el orden de integración se puede realizar la uintegral:

1πexp(itu)(uπ+πu)2du=12πeπ|t|(1π|t|)

  1. Ahora la final tintegral da

12(πeπ|t|(1π|t|))sech(πt)dt=0πeπt(1πt)sech(πt)dt=log(2)π224

Observar, finalmente, que ζ(2)=π26 hemos encontrado el resultado para ser probado. QED.

1voto

Roger Hoover Puntos 56

Al permitir quex=arctanu la integral original se convierta en 32\pi \int_{0}^{+\infty}\frac{\log^2(u)}{(1+u^2)^2\left(\pi^2+\log^2 u\right)^2}\,du\stackrel{u\mapsto e^{\pi x}}{=}32\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{\pi x}x^2}{(1+e^{2\pi x})^2(1+x^2)^2}\,dx $ $ y por simetría, el RHS se colapsa en 16 \int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{\cosh(\pi x)(1+x^2)^2}\,dx = 8 \int_{\mathbb{R}}\frac{x^2}{\cosh(\pi x)(1+x^2)^2}\,dx , lo que puede evaluarse fácilmente a través de la transformada de Fourier, ya que\frac{1}{\cosh(\pi x)} es esencialmente un punto fijo para\mathscr{F} y\mathscr{F}\left(\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)(s) está relacionado con la distribución de Laplace .

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