El ejemplo prototípico es el último teorema de Fermat. El problema es tan sencillo que se podría explicar a alguien de primaria, pero era tan difícil de resolver que llevó a los matemáticos a desarrollar la teoría de los anillos abstractos en busca de su solución.
En cuanto a por qué la teoría abstracta ayuda a abordar problemas concretos, diría que el primer ejemplo al nivel más básico sería la aritmética. Los seres humanos necesitan contar cosas para muchos aspectos prácticos de la vida cotidiana. Cuando empezaron a contar cosas, lo hacían de una en una: $1, 2, 3, \ldots$ . Pero si tienes un campo de maíz con 160 hileras de maizales con 200 árboles en cada hilera, puedes tardar un rato en contar cuántos maizales tienes si lo haces simplemente de uno en uno. Pero una vez establecida la estructura abstracta de los números naturales y desarrolladas las reglas sencillas de las operaciones aritméticas sobre esta estructura, el problema del recuento es inmediato: tenemos $160\times 200=32,000$ árboles de maíz. Así que la estructura abstracta está motivada por la necesidad de resolver problemas concretos. Entonces te centras sólo en estudiar esa estructura para que luego los problemas concretos sean triviales. O puede que simplemente pienses que la estructura es bella por sí misma y la estudies por sí misma, entonces la gente te llama "matemático puro".
