¿Si $A \times B$ es el producto directo de dos anillos, $A$ necesariamente debe un proyectivo $A \times B$-módulo?

Question

<blockquote> <p>¿Si $A \times B$ es el producto directo de dos anillos, $A$ necesariamente debe un proyectivo $A \times B$-módulo?</p> </blockquote> <p>Entiendo que debo pensar de $A$ como un $A \times B$ módulo mediante la identificación con el ideal $A \times \{0\} \subset A \times B$.</p>

Answer 1

Creo que sí, un módulo proyectivo es un sumando directo de un módulo libre y $A \oplus B \simeq A \times B$ $A \times B$ módulos. El isomorfismo envía $(a, 0) + (0, b) \mapsto (a, b)$.