Dejado de $L^2$ - martingala es otra vez $L^2$ integrable

Question

¿Dado un $L^2$martingala $X_t$, para un % de tiempo finito paro $T$, es verdad que $X_T$ es otra vez $L^2$ integrable?

Si $X_t$ es además uniforme integrable, entonces podemos utilizar Jensen-inequality:$$E[XT^2]=E[E[X\infty\mid FT]^2]\leq E[X\infty^2]$$ to obtain the $L^2$ integrability of $XT$ provided $X\infty$ es integrable cuadrado.

Sin embargo, no sé si la declaración es verdad sin la asunción de integrabilidad uniforme y $X_\infty^2$ es integrable.

Answer 1

No, esto es, en general, no es cierto.

Deje $(B_t)_{t \geq 0}$ ser unidimensional movimiento Browniano, y deje $X$ ser una variable aleatoria que toma valores en $(0,\infty)$ y que es independiente de $(B_t)_{t \geq 0}$. Claramente, $(B_t)_{t \geq 0}$ $L^2(\mathcal{F}_t)$- martingala con respecto a la filtración

$$\mathcal{F}_t := \sigma(X, B_s; s \leq t).$$

Si ponemos

$$T(\omega) := \inf\{t \geq 0; |B_t(\omega)| \geq X(\omega)\},$$

entonces no es difícil ver que $T$ es finita $\mathcal{F}_t$-tiempo de parada. Por otra parte, se sigue de la continuidad de la muestra las rutas de movimiento Browniano que $|B_T| = X$ casi seguramente. En particular,

$$\mathbb{E}(B_T^2) = \mathbb{E}(X^2),$$

y, por tanto, $B_T \in L^2$ si, y sólo si, $X \in L^2$.

Answer 2

También hay ejemplo de Doob: Let $F$ ser cualquier distribución en la línea verdadera. Seleccione la función apropiada $g$ así que $g(B_1)$ tiene distribución $F$ y luego definir $T:=\inf{t>1: B_t=g(B_1)}$. $T$ Es claramente a.s. finito por la repetición de movimiento browniano, y $B_T$ tiene distribución $F$. Y este $T$ es un tiempo de parada de la filtración del dada movimiento browniano.