¿Son unidimensionales los círculos y las líneas en dos espacios?

Question

Los círculos y las líneas suelen considerarse objetos unidimensionales. Sin embargo, cuando se incrustan en dos espacios, requieren dos coordenadas $(x,y)$ para especificar un punto dentro de ellas. ¿Siguen considerándose unidimensionales y por qué? Esta cuestión está relacionada con otra muy similar: ¿por qué una esfera incrustada en un espacio tridimensional se considera (hasta donde yo sé) bidimensional, aunque tenga altura, anchura y longitud? Para los profanos, las esferas suelen considerarse objetos tridimensionales. Ahí es donde puede residir un posible malentendido. Por lo tanto, también tengo curiosidad por saber qué diferencia hay, si es que hay alguna, entre la concepción que tiene un matemático de lo que es una "dimensión" y la que tiene un profano.

Answer 1

A grandes rasgos, la dimensión se refiere al grado de libertad de la forma geométrica, independientemente del espacio ambiental en el que se incruste esa forma. Así, las líneas y los círculos son unidimensionales, intuitivamente, ya que tienen un grado de libertad en cada punto (sólo pueden moverse en una dirección). La esfera en tres dimensiones, como la Tierra, es bidimensional, ya que en cada punto podemos movernos en dos direcciones independientes. Esto no debe confundirse con la geometría intrínseca de la forma. Aspectos como la curvatura intrínseca de la forma tienen poco que ver con la dimensión de la propia forma (aunque pueden relacionarse vagamente con la dimensión del espacio ambiental). Por ejemplo, un círculo de radio grande tiene una curvatura intrínseca menor que un círculo de radio pequeño. Por último, las particularidades de la precisión con la que una forma se sitúa en el espacio ambiente son una historia completamente distinta. Una historia importante, pero diferente. La geometría diferencial es el área de estudio de estos conceptos donde todo lo anterior se vuelve riguroso con la ayuda de definiciones adecuadas. Las diferencias entre cómo interpreta las cosas un matemático y cómo lo hace un profano sólo se derivan de imprecisiones sintácticas.

Answer 2

La idea es que se puede llamar a los objetos "n-dimensionales" si se pueden parametrizar utilizando n coordenadas distintas.

Por ejemplo, la línea es la imagen de la función $f(t)=(t,at+b)$ y el círculo es la imagen de la función $f(t)=(a+R\cos(t),b+R\sin(t))$ . La esfera es bidimensional porque puede parametrizarse mediante $f(\theta,\varphi)=(R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta,R\cos\varphi)$ .

Answer 3

Cualquier punto de una recta (o un círculo, o cualquier forma) puede describirse en términos de una única coordenada: la distancia a la que se encuentra el punto a lo largo de la recta. El área circunscrita por la forma es un objeto bidimensional, cuyos puntos requieren dos coordenadas para describir su ubicación. Del mismo modo, la superficie de una esfera puede describirse con dos coordenadas (longitud y latitud), pero el volumen de la esfera es tridimensional. Creo que el malentendido surge porque hablar del perímetro/área de la superficie de un polígono/sólido es un poco menos intuitivo que hablar de su área/volumen.

Answer 4

Míralo así: Si te doy una caja y pongo algo dentro de ella un profano pensará que el objeto que hay dentro tiene que estar relacionado con la caja y esa es la razón por la que está dentro de ella. Pero la visión de un matemático sería otra: primero intentaría definir cuál es el propósito de la caja, luego miraría un objeto e intentaría clasificar por qué está ese objeto dentro de la caja y cuáles son las propiedades de ese objeto, en lugar de relacionarlo directamente con la caja. Por poner un ejemplo $\Bbb{Q}$ y $\Bbb{R}$ ¿Qué relación tienen? Lo primero que se piensa es que son subconjuntos el uno del otro. Pero si te fijas, verás que la mayoría de los reales están en el racional y algunas manipulaciones te darán otros reales. $\Bbb{Q}$ siendo la caja y $\Bbb{R}$ siendo el objeto en su interior, pero en realidad es la inversa para un matemático.

Así que ahora ampliándolo a tu pregunta el $x-y$ plano que se hace del $x,y$ eje que son a su vez líneas. Así que para pensarlo de una manera directa tenemos una caja( $x-y$ plano) donde estoy poniendo otra caja (línea) . Ahora, para una línea y tratar de deformarla, es decir, tratar de unir los dos extremos (aquí estamos considerando un segmento de línea) obtenemos un círculo y como estoy tomando un objeto unidimensional y deformándolo sin añadir nada más, sigue siendo unidimensional.

Para una esfera tenemos que añadir cosas a la línea. ¡¡¡Tenemos que apilar líneas unas encima de otras que luego con sólo pegar los extremos obtenemos una esfera!!! Ahora bien, como hemos añadido algo a la línea que cambiará su dimensión y ahora no podemos mantenerla en la casilla anterior ( $x-y$ plano) Así que sabemos hacer una nueva caja donde ponemos esta llamada esfera. Ahora como las lineas eran 1-dimesionales este objeto que obtenemos tiene que ser 2-dimensional.

Técnicamente: Como se da en uno de los puede utilizar parámetros para mostrar dimensión . Por lo tanto, el número de parámetros le dirá la dimensión. Así que como sabemos la fórmula de una línea es $at+b$ aquí el parámetro es simplemente $t$ y, por tanto, es unidimensional. Una esfera de radio a puede describirse mediante $$x=a\cos\theta\cdot\sin\phi$$ $$y=a\sin\theta\cdot\sin\phi$$ $$z=a\cos\phi$$ Así que aquí hay dos parámetros y por lo tanto es bidimensional .

También hay otras formas complicadas de definir una dimensión que se pueden encontrar en la teoría de dimensiones.