¿Cómo se puede expresar el nudo trébol en coordenadas polares?

Question

Según la Wikipedia, las ecuaciones paramétricas para un nudo trébol son

\begin {align*} x(t) &= \sin t + 2 \sin 2t \\ y(t) &= \cos t - 2 \cos 2t \\ z(t) &= - \sin 3t. \end {align*}

Sólo me interesa el $x$ y $y$ dimensiones, por lo que $z(t)$ se ignora. Cuando se trazarlo con Wolfram|Alpha me da la forma general esperada. Sin embargo, cuando intento convertirla a coordenadas polares, (aparentemente) no funciona.

\begin {align*} r^2 &= x^2 + y^2 \\ &= ( \sin t + 2 \sin 2t)^2 + ( \cos t + 2 \cos 2t)^2 \\ &= ( \sin ^2 t + 4 \sin t \sin 2t + 4 \sin ^2 2t) + ( \cos ^2 t - 4 \cos t \cos 2t + 4 \cos ^2 2t) \\ &= 1+4 + 4( \sin t \sin 2t - \cos t \cos 2t) \\ &= 5-4 \cos 3t \end {align*}

Sin embargo, cuando intento parcela $r = \sqrt{5-4\cos 3t}$ obtengo algo completamente diferente. ¿Cuál es el problema? Además, ¿cómo podría expresar el nudo trébol en coordenadas polares?

Answer 1

Cuando se hacen gráficas polares se tiene que recurrir a parametrizaciones de la forma limitada $$x(\varphi)=r(\varphi)\cos \varphi, \quad y(\varphi)=r(\varphi)\sin(\varphi).$$ La parametrización que has dado no es de esa forma. Esto es evidente ya desde la observación de que la parametrización da el trébol completo, cuando $t\in[0,2\pi]$ pero el trébol rodea el origen dos veces, por lo que $\varphi$ debe oscilar sobre $[0,4\pi]$ .

Veamos la parametrización de Wikipedia del trébol en la superficie de un toro: $$x=(2+\cos3t)\cos2t,\quad y=(2+\cos3t)\sin2t,\quad z=\sin 3t.$$ Si ignoramos que $z$ -coordinar por un momento, vemos $(x,y)\uparrow\uparrow(\cos 2t,\sin 2t)$ lo que es un signo revelador de que aquí $\varphi=2t$ es la coordenada del ángulo polar. Como $t$ se extiende sobre $[0,2\pi]$ En efecto, deberíamos tener $\varphi\in[0,4\pi]$ . Así, la proyección de ese trébol sobre el $xy$ -viene de la ecuación polar $$r=2+\cos\frac{3\varphi}2,$$ como sugiere heropup (+1). La trama no es exactamente lo que se esperaba:

Aquí la constante aditiva $2$ representa la relación entre el radio del "cable" dentro del toroide y el del "tubo" alrededor del cable. En mi opinión, la proyección parece un poco más limpia si utilizamos la relación $4$ y la ecuación $r=4+\cos\frac{3\varphi}2$ en su lugar:

Para una mejor visión, aquí hay una imagen en 3D de cómo el trébol se envuelve alrededor del toro.

El trébol es el tubo delgado en la superficie de la rosquilla.

Answer 2

El primer comentario es correcto.

Su $t$ no es lo mismo que $\theta$ para un punto determinado del nudo trébol. Que $\theta$ es $\arctan(\frac{y(t)}{x(t)})$ . Si se observa la gráfica de un nudo trébol se puede ver que no puede haber ninguna ecuación polar para él porque el mapeo de $\theta$ a $r$ no es uno a uno. Lo mejor que podrías hacer es una ecuación paramétrica en coordenadas polares, que sería simplemente

$$\theta(t) = \arctan\frac{\cos(t)-2\cos(2t)}{\sin(t) + 2\sin(2t)}\\ r(t) = \sqrt{5-4\cos t(3t)}$$

Y ni siquiera estoy seguro de que eso te dé el nudo trébol completo- podría depender de la rama de $\arctan$ es elegido.

Se podría intentar resolver para $t$ en términos de $\theta$ (parece difícil), y a continuación, introdúzcalo en la fórmula de $r$ pero, en el mejor de los casos, sólo acertarás una. $r$ valor para cada $\theta$ así que no será el nudo de trébol completo.

Answer 3

Un epitrochoide en dos dimensiones puede dar lugar a una proyección de un nudo trébol, o simplemente se puede hacer un suposición informada : p. ej, $$r = 2 + \sin \tfrac{3}{2}\theta, \quad \theta \in [0, 4\pi).$$

Answer 4

Esta pregunta también me interesa. No tengo una respuesta a la pregunta anterior, pero puedo proporcionar alguna información adicional. En primer lugar, si uno introduce sqrt((sint+2sin2t)2+(cost+2cos2t)2) en Wolfram Alpha, éste devuelve una derivación diferente, que cuando se representa no se parece en nada a sqrt(5-4cos3t). En segundo lugar, creo que el problema con la lógica anterior es que se debe perder algo de información en el proceso de elevar al cuadrado los enunciados. Jugando en gnuplot, lo más cerca que he podido llegar a un nudo es 1+0,05cos(3t+0,5t) sobre -2pi..2pi, 1+0,05cos(3t+0,3t) sobre -3pi..3pi. Se puede jugar con la escala de t como se quiera (¿primas como en la teoría de nudos?) pero hay que ajustar el rango en consecuencia. Espero que alguien más pueda poner esto en el contexto de la pregunta original. Saludos, David