Que derivan de la media y la varianza de la distribución de Laplace

Question

Hace mucho tiempo que no uso el cálculo, y estoy tratando de entender cómo se derivan la media y la varianza de la distribución de Laplace con el pdf$$f(x|\mu,\sigma) = \dfrac{1}{2 \sigma}\,e^{-\Large\frac{|x-\mu |}\sigma}$ $.

Sé que E$[X] = \mu$ y Var$[X] = 2\sigma^2$, pero no entiendo cómo sucede eso.

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos$u=x-\mu$, entonces tenemos$x=u+\mu$ y$dx=du$. Por linealidad tenemos$\operatorname{E}[X]=\operatorname{E}[U+\mu]=\operatorname{E}[U]+\mu$, por lo tanto \begin{align} \operatorname{E}[X] &=\frac1{2\sigma}\int_{-\infty}^\infty u\ e^{-\Large\frac{|u|}{\sigma}}\ du+\mu\\ &=\frac1{2\sigma}\color{blue}{\underbrace{\color{black}{\int_{-\infty}^0 u\ e^{\Large\frac{u}{\sigma}}\ du}}_{\color{red}{\text{set}\ u=-u}}}+\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u\ e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\mu\\ &=-\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u\ e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u\ e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\mu\\ &=\large\color{blue}{\mu} \end {align} y \begin{align} \operatorname{E}\left[X^2\right]&=\operatorname{E}\left[(U+\mu)^2\right]\\ &=\operatorname{E}\left[U^2\right]+2\mu\operatorname{E}\left[U\right]+\mu^2\\ &=\operatorname{E}\left[U^2\right]+2\mu\operatorname{E}\left[X-\mu\right]+\mu^2\\ &=\frac1{2\sigma}\int_{-\infty}^\infty u^2 e^{-\Large\frac{|u|}{\sigma}}\ du+\mu^2\\ &=\frac1{2\sigma}\color{blue}{\underbrace{\color{black}{\int_{-\infty}^0 u^2 e^{\Large\frac{u}{\sigma}}\ du}}_{\color{red}{\text{set}\ u=-u}}}+\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u^2 e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\mu^2\\ &=\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u^2 e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\frac1{2\sigma}\int_{0}^\infty u^2 e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du+\mu^2\\ &=\frac1{\sigma}\color{blue}{\underbrace{\color{black}{\int_{0}^\infty u^2 e^{-\Large\frac{u}{\sigma}}\ du}}_{\color{red}{\text{set}\ v=\frac{u}{\sigma}}}}+\mu^2\\ &=\sigma^2\int_{0}^\infty v^2 e^{-v}\ dv+\mu^2\\ &=2\sigma^2+\mu^2, \end {align} donde $$ \ Gamma (n +1) = \ int_ {0} ^ \ infty v ^ { n} e ^ {- v} \ dv = n! \ qquad, \ qquad \ text {para$n$ número natural}. $$ Así \begin{align} \operatorname{Var}[X]&=\operatorname{E}\left[X^2\right]-\left(\operatorname{E}[X]\right)^2=\large\color{blue}{2\sigma^2}. \end {align}

Answer 2

Estandarizar la distribución hará que los cálculos sean mucho más simples. Dejar $Y = (X - \mu)/\sigma$; entonces el PDF de$Y$ es$$f_Y(y) = f_X(\mu + \sigma y) \left| \frac{d}{dy}[\mu + \sigma y]\right| = \frac{1}{2}e^{-|y|}.$$ Hence $$\mathrm{E}[X] = \mathrm{E}[\mu + \sigma Y] = \mu + \sigma\mathrm{E}[Y].$$ But note that $$\int_{y=0}^\infty ye^{-y} \, dy = \Gamma(2) < \infty,$$ and $ y f_Y (y)$ is an odd function, hence $ \ mathrm {E} [Y] = 0$ and $ \ mathrm {E} [X] = \ mu $.

De manera similar, la varianza se obtiene mejor a través de$Y$: es una cuestión simple calcular el segundo momento de$Y$, ya que el integrando es una función par:$$\mathrm{E}[Y^2] = \frac{1}{2} \int_{y=-\infty}^\infty y^2 e^{-|y|} \, dy = \int_{y=0}^\infty y^2 e^{-y} \, dy = \Gamma(3) = 2.$$ Consequently, $% PS

Answer 3

Recordemos que el apoyo de una de Laplace variable aleatoria Distribuye $X$ es la línea real, por lo que tenemos que evaluar la siguiente integral:

$$E\left[X \right]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x) \mathrm{dx}= \int_{-\infty}^{\infty}x \dfrac{1}{2 \sigma}\,e^{-|x-\mu |/\sigma} \mathrm{dx}$$

Creo que es el valor absoluto que es confuso usted aquí, ¿sí?

La solución sería dividir en (discontinuo) partes donde el signo de los cambios, que es deshacerse de el valor absoluto y evaluar por separado:

$$ \int_{-\infty}^{\infty}x \dfrac{1}{2 \sigma}\,e^{-|x-\mu |/\sigma} \mathrm{dx}= \int_{-\infty}^{\mu} \frac{x}{2 \sigma}e^\frac{x-\mu}{\sigma}\mathrm{dx}+\int_{\mu}^{\infty} \frac{x}{2 \sigma} e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}\mathrm{dx}$$

Ahora puede realizar mediante el empleo de integración por partes en cada integral. Esto debe darle la media.

Para la varianza también es necesario utilizar el mismo método y evaluar $E[X^2]$. A continuación, puede utilizar la fórmula de varianza: $var(X)=E[X^2]-\left[ E[X] \right]^2$ para obtener su resultado.

Espero que esto ayude.