Estoy atascado con la derivación de la ecuación diferencial de Chapman-Kolmogorov proporcionada en Gardiner 1985, sección 3.4. Se supone que es un punto intermedio entre la ecuación maestra y la ecuación de Fokker-Planck, ya que permite que haya saltos además de difusión, mientras que tiene la virtud de que el salto y la difusión están claramente separados. Sin embargo, es algo menos general que la ecuación de Chapman-Kolmogorov, ya que supone que la probabilidad de transición evoluciona en el tiempo de forma diferenciable.
Gardiner comienza definiendo el término de salto $W(x|z,t)$ y los términos de deriva y difusión en las ecuaciones (3.4.1,...,3.4.3). Los repetiré aquí por conveniencia (dejo de lado las O grandes y las reemplazo por límites): \begin{align} W(x|z,t)&=\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{p(x,t+\Delta t|z,t)}{\Delta t},\\ A_i(z,t)&=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\,(x_i-z_i)p(x,t+\Delta t|z,t),\\ B_{ij}(z,t)&=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\,(x_i-z_i)(x_j-z_j)p(x,t+\Delta t|z,t), \end{align} suponiendo que los límites existen uniformemente en $\epsilon,z,t$ .
A continuación, argumenta que todos los términos de orden superior deben desaparecer. En la ecuación (3.4.7), este argumento se realiza para el caso específico del momento de tercer orden. Sin embargo, no comenta las distintas líneas del cálculo. Permíteme que lo imprima aquí para ti. El término que quiere demostrar que desaparece dice
\begin{equation} C_{ijk}(z,t)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx(x_i-z_i)(x_j-z_j)(x_k-z_k)p(x,t+\Delta t|z,t), \end{equation}
y define
\begin{equation} \bar C(\alpha,z,t)=\sum_{i,j,k}\alpha_i\alpha_j\alpha_kC_{ijk}(z,t). \end{equation}
A continuación, escribe
\begin{equation} \begin{split} \left |\bar C(\alpha,z,t)\right | &\leq \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t}\int_{|x-z|<\epsilon} |\alpha\cdot(x-z)|[\alpha\cdot(x-z)]^2p(x,t+\Delta t|z,t) dx+\mathcal{O}(\epsilon)\\ &\leq |\alpha|\epsilon \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \int [\alpha\cdot(x-z)]^2p(x,t+\Delta t|z,t) dx+\mathcal{O}(\epsilon) \\ &=\epsilon |\alpha| [\alpha_i \alpha_j B_{ij}(z,t)+\mathcal{O}(\epsilon)]+\mathcal{O}(\epsilon)\\ &=\mathcal{O}(\epsilon), \end{split} \end{equation} tal que el lado izquierdo debe desaparecer para $\epsilon\rightarrow 0$ .
Tengo un poco de problemas con esta derivación. En primer lugar, creo que los límites de integración y un factor $1/\Delta t$ faltan en la segunda línea. Creo que estoy bien con la primera desigualdad, que explico por si acaso \begin{equation} \begin{split} \left |\bar C(\alpha,z,t)\right | &= \left | \sum_{i,j,k}\alpha_i\alpha_j\alpha_k \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx(x_i-z_i)(x_j-z_j)(x_k-z_k)p(x,t+\Delta t|z,t) \right | \\ &= \left | \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\sum_{i,j,k}\alpha_i\alpha_j\alpha_k (x_i-z_i)(x_j-z_j)(x_k-z_k)p(x,t+\Delta t|z,t) \right | \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \left | \int_{|x-z|<\epsilon}dx[\alpha\cdot(x-z)]^3p(x,t+\Delta t|z,t) \right | \\ &\leq \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\left | [\alpha\cdot(x-z)]^3\right |p(x,t+\Delta t|z,t) \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\left | \alpha\cdot(x-z)\right |[\alpha\cdot(x-z)]^2p(x,t+\Delta t|z,t) \end{split} \end{equation}
La segunda línea se mantiene debido a la linealidad de los límites y las integrales. La tercera se debe a la continuidad del valor absoluto y a que $\Delta t$ es positivo (una suposición no declarada). La cuarta línea se debe a la monotonicidad de la integral y la última línea es trivial.
Ahora supongo que el razonamiento es decir que el $\left | \alpha\cdot(x-z)\right |$ en el integrando es menor que $\epsilon |\alpha|$ dentro de la región de integración, que se puede tomar fuera de la integral y los límites. El integrando restante es sólo el término correcto que da $\alpha_i \alpha_j B_{ij}(z,t)$ cuando se integra y combina con el $1/\Delta t$ y en el límite $\Delta t \rightarrow 0$ . Ok, parece que entiendo todo el asunto? ¡No!
El asunto es el siguiente. Supongamos que hago el mismo razonamiento para
\begin{equation} \bar B(\alpha,z,t)=\sum_{i,j}\alpha_i\alpha_jB_{ij}(z,t). \end{equation}
Obtendría, por las mismas manipulaciones anteriores,
\begin{equation} \begin{split} \left |\bar B(\alpha,z,t)\right | &\leq ... \\ &= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\left | \alpha\cdot(x-z)\right |\left | \alpha\cdot(x-z)\right |p(x,t+\Delta t|z,t) \\ &\leq \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\epsilon |\alpha|\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} \int_{|x-z|<\epsilon}dx\left | \alpha\cdot(x-z)\right |p(x,t+\Delta t|z,t). \end{split} \end{equation}
Ahora bien, aunque el término restante de la integral no es exactamente la que daría lugar a $\alpha_i A_i$ No veo qué impediría que la integral fuera al menos finita, de manera que el límite desapareciera. Esto implicaría que la matriz de difusión es cero en general, lo cual es ciertamente falso. Claramente, estoy malinterpretando el argumento de Gardiner y pasando por alto un punto crucial que hace que el argumento de $C$ trabajo y el de $B$ se descomponen.
En una nota relacionada, otras derivaciones normalmente incluyen todos los momentos de salto, lo que lleva a la expansión de Kramers-Moyal, que dice (en 1d)
\begin{equation} \partial_t p(x,t|x',t')=\sum_{l=1}^{\infty} \frac{(-1)^l}{l!}\frac{\partial^l}{\partial x^l}\left [ D^l(x,t)p(x,t|x',t')\right ], \end{equation}
donde la correlación con Gardiner es $D^1=A$ y $D^2=B$ pero se mantienen todos los términos superiores. Normalmente, esto va seguido de algún argumento del tipo "la mayoría de las veces, los términos de tercer orden y superiores pueden eliminarse, pero no puedo decirle por qué". ¿Cómo se concilia esto con la opinión de Gardiner?
