Se suele decir que las formas diferenciales (secciones de una potencia exterior del haz cotangente) son lo que se puede integrar. Pero, a menos que esté siendo muy denso, las formas diferenciales no son las únicas cosas que se pueden integrar, por ejemplo, la forma arclada (en una variedad 2d) $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ las formas 1-d sin signo $|f(x,y)dx+g(x,y)dy|$ o las formas de área sin signo $|h(x,y)dx\wedge dy|$ .
Mi pregunta es:
¿Dónde está el formulario de arclength $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ las formas 1-d sin signo |f(x,y)dx+g(x,y)dy|, y las formas de área sin signo $|h(x,y)dx\wedge dy|$ viven en relación con los diferenciales $dx$ y $dy$ que entiendo que vive en el haz cotangente de alguna variedad bidimensional?
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Es curioso; creía que las funciones medibles eran las cosas que se podían integrar...
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@Qiaochu: evidentemente, hay más de un tipo de cosas que puedes integrar.
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La notación utilizada en el lado derecho de " $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ " es sólo una notación; en concreto, no es algo que se construya a partir de $dx$ y $dy$ ...
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@Mariano, entiendo ds como una función continua sobre el espacio tangente en un punto. Mi limitada comprensión me dice que es una forma no lineal porque c ds(v)=ds(c v) para constantes positivas c. Sospecho que si aplicas "positivamente" una función homogénea de grado 1 en n variables a (dx_1, dx_2,..., dx_n), obtendrías una forma.
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Supongo que estas formas no lineales están tomadas del libro de David Bachmann "A Geometric Approach to Differential Forms", ¿no es así?
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@MarianoSuárez-Álvarez : No es sólo la notación. La forma más sencilla (OMI) de ver cómo $ds$ se construye a partir de $dx$ y $dy$ es pensar en estos últimos como operadores sobre vectores tangentes. Si $x$ y $y$ son las coordenadas estándar en $\mathbb{R}^2$ entonces $dx$ y $dy$ mapear un vector tangente a sus componentes primera y segunda. Si tomas estas componentes, las elevas al cuadrado, las sumas y luego sacas la raíz cuadrada, obtienes la norma (euclidiana) del vector. Y eso es lo que $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ es, como un operador sobre vectores. Eso parece ser también lo que dice el comentario de Vladimir.
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Existe una forma sistemática de integrar tal cosa (una expresión arbitraria construida a partir de $dx$ y $dy$ ) a lo largo de una curva orientada: dividir la curva en trozos, evaluar la expresión a lo largo del vector desde cada punto final hasta el siguiente, sumarlos y tomar un límite a medida que los tamaños de los trozos se acercan a cero en un sentido apropiado. De esta forma, se integra cualquier lineal ordinaria $1$ -correctamente, pero también integra $ds$ correctamente, para obtener la arclitud de la curva (si es rectificable, o infinita si no lo es). Así que realmente es $ds$ .