Breve secuencia exacta - ¿por qué ' t este argumento funciona?

Question

¿Qué ocurre con esta "prueba"?

Si la secuencia de $\Bbb{Z}$-módulos $$0\to M \to N \to \Bbb{Z}/2 \to 0$$ is exact, then $N\cong M \oplus \Bbb{Z}/2$.

Llame al primer mapa $f$, el segundo $g$. Por exactitud, tenemos $$ \begin{aligned} \Bbb{Z}/2 &= \operatorname{Im} g\ \ker g &= \operatorname{Im} f \ \ker f &= 0. \end{alineado} $$

Por el primer teorema de isomorfismo, tenemos $$\Bbb{Z}/2 \cong N / \ker g = N/\operatorname{Im} f\ \operatorname{Im} f \cong M/ \ker f = M.$ $

Así $\Bbb{Z}/2 \cong N/M$, es decir, $N \cong M \oplus \Bbb{Z}/2$.

Answer 1

La secuencia exacta no puede ser dividida. $N/M\cong\mathbb{Z}_2$ no implica que el $N\cong M\oplus\mathbb{Z}_2$. Un contraejemplo es $N\cong M\cong\mathbb{Z}$ y $M\to N$ es la multiplicación por 2 mapa.

Answer 2

La condición de

para cada secuencia exacta corta de $R$-módulos $0\to M\to N\to P\to 0$, tenemos $N\cong M\oplus P$

es equivalente a decir que $P$ es un proyectivo $R$-módulo.

Por supuesto $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ no es proyectivo, porque no puede ser integrado en un módulo libre para comenzar con.

Answer 3

Tomar el $0 \rightarrow \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow 0$ donde el primer mapa es $\overline{a} \rightarrow pa \,( \mbox{ mod } p^2)$ y el segundo mapa es $x + py \in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \rightarrow x$. Ahora se trata de una secuencia exacta. Pero no es isomorfo a $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_p \oplus\mathbb{Z}_p$. Esto es porque $M/N \equiv Q$ no significa necesariamente $M \equiv N \oplus Q$.