Una pregunta simple de una prueba integral compleja, con valores enteros

Question

Tengo una duda con esta prueba. Veamos primero la prueba y el resultado.

Resultado: Si $ \gamma $ es cualquier camino cerrado en $ C_{ \ne 0} $ entonces $ \frac{1} {2\pi i}\int\limits_\gamma \frac{dz}{z} \in {\Bbb Z} $

Prueba: Sea $f$ sea una primitiva de $ dz/z $ a lo largo de $ \gamma $ Entonces $ \int\limits_\gamma \frac{dz} z = f\left( b \right) - f\left( a \right) $ donde $[a,b]$ parametriza $\gamma$ . Desde $\gamma(a) = \gamma(b) $ esta diferencia no es más que la diferencia entre dos ramas de $\log z$ y, por tanto, de la forma $ 2\pi i n$

No entiendo cómo se utiliza el hecho de que $\gamma(a) = \gamma(b)$ .

Answer 1

En todas partes menos en $z=0$ la función $z\mapsto\frac{1}{z}$ es holomorfa, por lo que la integral alrededor de cualquier curva cerrada y suave a trozos que no contenga el origen será $0$ .

En el diagrama siguiente, hay dos caminos, el camino original que sigue las flechas rojas (que encierra la región roja), y el camino adicional que sigue las flechas verdes (que encierra la región verde).

La integral de la trayectoria a lo largo de la trayectoria roja original y la integral de la trayectoria a lo largo de la trayectoria verde adicional se anulan mutuamente a lo largo de la frontera entre las regiones roja y verde (la trayectoria roja y la trayectoria verde están en direcciones opuestas, por lo que $\mathrm{d}z$ en un camino es el negativo de $\mathrm{d}z$ sobre la otra en el mismo punto). Así, podemos combinar las dos integrales de trayectoria para hacer una integral de trayectoria a lo largo de la trayectoria que rodea la unión de las regiones roja y verde. Si una función es holomorfa en la región verde, entonces la integral de trayectoria alrededor de la unión es la misma que la integral alrededor de la región roja, ya que la integral alrededor de la región verde es $0$ .

De este modo, podemos modificar los recorridos a través de las regiones donde una función es holomorfa sin alterar el valor de la integral. Sin embargo, si hay un punto en el que una función deja de ser holomórfica (una singularidad), tenemos que tener cuidado.

En el diagrama anterior, el punto del centro es una singularidad. Supongamos que queremos ampliar el camino que rodea la región roja para que contenga las regiones azul y verde. Por el argumento anterior, la integral alrededor de las tres regiones es la suma de las integrales alrededor de cada una. Suponiendo que la función es holomorfa en la región verde, la integral del camino alrededor de la región verde es $0$ por lo que la integral alrededor de la unión de las tres regiones es la integral alrededor de la región roja original más la integral alrededor de la región azul.

Para la función $z\mapsto\frac{1}{z}$ es fácil calcular que la integral alrededor del origen es $2\pi i$ . Así, extender el camino de integración a través de una región sin singularidades no cambia la integral (como en el primer diagrama) y extender el camino de integración a través del origen aumenta o disminuye la integral en $2\pi i$ (como en el segundo diagrama). Así, $$ \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{\mathrm{d}z}{z} $$ será un número entero.

Answer 2

Esta prueba es un poco tonta porque no se puede definir correctamente la primitiva si "se da la vuelta al polo $z = 0$ más de una vez", porque $f$ tendrá que definirse muchas veces allí. La forma correcta de ver esto sería la siguiente : su curva $\gamma$ puede deformarse continuamente en una curva $\tilde\gamma : [0,1] \to \mathbb C$ que es simplemente $\tilde\gamma(t) = e^{2\pi i n t}$ para $t \in [0,1]$ . Así, la curva rodea el polo $z = 0$ $n$ veces (el signo de $n$ es importante), por lo que como $\frac 1z$ tiene un polo de orden $1$ en $z=0$ la integral se calcula como $n$ .

No sé si buscabas algo más explícito pero así es como yo pienso en esta integral.

Lo que en realidad están diciendo es que si $f(z) = 1/z$ puis $F(z) = \int f(z) dz$ la primitiva, es $\log z$ pero esa función $\log$ sólo puede definirse sobre $\mathbb C$ menos una línea recta que comienza en $0$ e ir a $\infty$ . Esto significa que cuando su curva cruza esa línea, el valor de la integral "salta" de $0$ a $2 \pi i$ entonces de $2\pi i$ a $4\pi i$ porque el orden del polo es $1$ por lo que se obtiene un múltiplo de $2\pi i$ cada vez que cruzas esa línea (y obtienes un múltiplo negativo si vas en la otra dirección).

Espero que le sirva de ayuda,