Es $\let\epsilon\varepsilon\let\leq\leqslant\let\geq\geqslant$es un resultado conocido que por cada $n\in\mathbb N$, $x^n+1\equiv y^n\pmod p$ no es trivialmente solucionable por suficientemente grandes números primos $p$. Deje $P_n$ denotar la más grande de prime para que es irresoluble. Ramsey teoría da (creo que la prueba fue dada primero por Schur, si no me estoy confundiendo) $$P_n<R(\underset{n\;3\text{'s}}{\underbrace{3,\ldots,3}}),$$ where $R(\ldots)$ denota el número de Ramsey. Desde $$R(\underset{n\;3\text{'s}}{\underbrace{3,\ldots,3}})\leq2-n+n\cdot R(\underset{n-1\;3\text{'s}}{\underbrace{3,\ldots,3}})\leq n\cdot R(\underset{n-1\;3\text{'s}}{\underbrace{3,\ldots,3}})$$ para$n\geq2$$R(3,3,3)=17$, la mejor explícito vinculado puedo obtener de esto es $P_n<\frac{17}6\cdot n!$.
Una aproximación heurística es el siguiente: hay al menos $\frac{p-1}n$ cero $n$th poderes modulo primos $p$. La 'probabilidad' de que ninguno de estos rendimientos de una solución a la congruencia es así en la mayoría de las $\left(1-\frac{\frac{p-1}n}p\right)^{\frac{p-1}n}$, si suponemos que el $n$th poderes para ser distribuido de manera uniforme. Si queremos enlazado desde arriba por un fijo $\epsilon>0$, tenemos $$\begin{align*}\left(1-\frac{\frac{p-1}n}p\right)^{\frac{p-1}n}&\leq\epsilon\\ \frac{p-1}n\log\left(1-\frac1n\right)\approx\frac{p-1}n\log\left(1-\frac{p-1}{np}\right)&\leq\log\epsilon\\ p-1&\lessapprox\frac{n\log\epsilon}{\log\left(1-\frac1n\right)}=n^2\log\epsilon+O(n).\end{align*}$$ No estoy seguro de si estos cálculos ningún sentido en absoluto, pero de este me conjetura de que $P_n=O(n^2)$.
Finalmente, mi pregunta:
Se sabe que $P_n=O(n^2)$? Si no, ¿cuál es la mejor conocida de ruedas, o ¿qué heurística nos dicen?
