Supongamos que$X$ y$Y$ son espacios métricos compactos. Deje que$C(X,Y)$ sea el conjunto de mapas continuos$f:X\to Y$. Para$f\in C(X,Y)$, el gráfico de$f$ se cierra en$X\times Y$. Suponga que$\{f^n\}$ es una secuencia en$C(X,Y)$ y suponga que la secuencia de gráficos correspondiente converge a un conjunto cerrado en$X\times Y$ en la topología métrica de Hausdorff. ¿Eso implica que existe un mapa$f:X\to Y$ que es el límite puntual de alguna subsecuencia de la secuencia de funciones$\{f^n\}$?
Respuesta
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ChoF
Puntos
224
[Actualización] OP necesario que la gráfica del límite de la función no tiene que ser el mismo que el límite de los conjuntos cerrados.
Deje $X=Y=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\subset\mathbb{R}$, y considerar la secuencia
$$
\bigl\{ f_{2n}(x)=\operatorname{arctan}((2n)x) \mediados n\geq 1 \bigr\}
$$
y
$$
\bigl\{ f_{2n-1}(x)=\operatorname{arctan}((2n-1)x-1) \a mediados n\geq 1 \bigr\}
$$
A continuación, la gráfica de $f_n$ converge a la unión de tres segmentos de línea, $$ \bigl([-\frac{\pi}{2},0]\times\{-\frac{\pi}{2}\}\bigr) \cup \bigl(\{0\}\times[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\bigr) \cup \bigl([0,\frac{\pi}{2}]\times\{\frac{\pi}{2}\}\bigr) $$ Pero la secuencia de $\{f_n\}$ no convergen en $x=0$.
