Unitarity tiene más bien poco que ver con ella, como el operador de Schrödinger en $\mathbb{R}^n$ es unitaria, y para cualquier disminuyendo rápidamente inicial de datos (no la regularidad de los supuestos aquí! sólo caries) tenemos en el hecho de que la solución es suave para todos los positivos veces.
Compacidad, sin embargo, de que el colector tiene mucho que ver con ello. Esto es debido a la compacidad implica que cada geodésica es atrapado, así que no podemos tener la dispersión hasta el infinito. Más precisamente:
Considera en primer lugar el lineal de onda de la ecuación. Sabemos que esta ecuación tiene la propagación de las singularidades a lo largo de null geodesics. A grandes rasgos tenemos que todas las frecuencias son transportados a la misma velocidad, de manera que si una colección de avión ondas se suman para producir una singularidad en el tiempo $t$, va a seguir haciéndolo en los últimos tiempos.
Para el lineal de la ecuación de Schrödinger, la situación es diferente, las frecuencias no son todos los que viajan a la misma velocidad. Así que si usted tiene un paquete de ondas de alta frecuencia y baja frecuencia, algún tiempo más tarde territorial de apoyo independiente y no de manera constructiva agregar a una singularidad. Esta es la razón por la ecuación de Schrödinger es suavizado para la rápida descomposición inicial de los datos: si los datos de descomposición rápida, toda la acción se inicia cerca del origen, y así, después de algunos pequeños el tiempo de los paquetes de onda, que fueron originalmente situado cerca del origen, ahora ráfaga de todo el lugar y no se suman a una singularidad más.
Sin embargo, si intenta hacer ecuación de Schrödinger en un colector para que el flujo geodésico ya no garantiza que los paquetes de ondas ser transportado por distancia $\approx |\xi|t$ donde $\xi$ es la frecuencia de la onda de paquetes y $t$ es el tiempo transcurrido, los suavizado heurística dejará de funcionar. Y de hecho, este argumento puede ser hecho rigurosamente en el caso de no compacto, asintóticamente plana colectores. Ver
Craig, Walter, En el microlocal la regularidad de la Schrödinger kernel. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y sus aplicaciones (Toronto, ON, 1995), 71--90, CRM Proc. Notas De La Conferencia, 12, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1997
En el caso de un colector compacto, no geodésica puede "escapar" hacia el infinito, de modo que todos los paquetes de onda permanecerá en finito de distancia el uno del otro. Por una cubierta argumento, necesariamente habrá puntos donde un número infinito de los paquetes de onda se pueden acumular y causar potencialmente la solución a ser singular. Esta intuición se ha llevado a cabo en casos especiales. Por ejemplo, se sabe que el Schrödinger kernel en la esfera de la $\mathbb{S}^d$ es una distribución con singular de apoyo en todos los de $\mathbb{R}\times \mathbb{S}^d$.
Usted puede encontrar más referencias en este MathOverflow post de Mazzeo.
Editar permítanme ampliar un poco más sobre mi comentario, lo que puede dar una respuesta a su segunda pregunta.
El principal problema es la siguiente: cuando pensamos en un "núcleo de circunvolución" como una solución a una evolución de ecuación diferencial parcial generalmente se espera que el kernel $E_t$ $(C^\infty_c(X))'$ donde $X$ es el fondo del colector. Es decir, esperamos que $E_t$ a ser una distribución para cada tiempo de $t$. Por convolución podemos garantizar que para cualquier $v$ una distribución con soporte compacto (en anotaciones, $v\in \mathcal{E}'(X)$ $E_t*v$ es una distribución, y tenemos una distribución de la solución para el problema de Cauchy. Ahora, si por $t > 0$ tenemos que la singular apoyo de $E_t$ es el conjunto vacío, entonces, por las propiedades de la convolución tenemos que $E_t*v \in C^\infty(X)$.
Esto es lo que pienso de "suavizado", y vemos que está inmediatamente ligada a la singular apoyo de la convolución del núcleo.
Donde la compresión entra es el siguiente hecho trivial:
Si $X$ es compacto, entonces $C^\infty(X) = C^\infty_c(X)$, y el espacio de las distribuciones y el espacio de las distribuciones con soporte compacto son los mismos.
Sabemos que $L^2(X) \subset (C^\infty_c(X))'$, $L^2$ funciones localmente integrables y puede ser interpretada como distribuciones. En general, sin embargo, $L^2$ funciones no tienen soporte compacto. Pero por el hecho trivial, tenemos que si $X$ es compacto colector, $L^2(X) \subset \mathcal{E}'(X)$. Esto implica que un suavizado kernel en un compacto colector de suavizar cualquier $L^2(X)$ función. Esto es lo que justifica su razonamiento de que en un compacto colector de la Schrödinger kernel no puede ser liso.
Por otro lado, este argumento se rompe cuando $X$ no es compacto. Como $L^2(\mathbb{R}^n) \setminus \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ no está vacía, la definió originalmente núcleo de circunvolución no necesariamente se aplica a todas las $L^2$ funciones de la convolución de dos distribuciones de no-compacto de apoyo puede no ser una distribución). Para el caso de los operadores de Schrödinger, como resulta, se puede tomar la convolución y terminar con una distribución, pero el uniforme de los presupuestos necesarios para "suave kernel implica la solución suave de" no es cierto en el conjunto de la $L^2(\mathbb{R}^n)$. Por lo tanto, en general, en un no-compacto colector $X$ uno puede llegar a la conclusión "unitaria en $L^2(X) \implies $ falta de suavizado en $\mathcal{E}'(X)$".
