$x^2 +1$ es reducible $\Bbb Z_5$

Question

¿Es cierto que el polinomio $x^2 +1$ es reducible $\mathbb{Z}_{5}$?

Es debido a que 3 es un elemento de $\mathbb{Z}_{5}$ y $3^2 +1=10$ que es divisible por 5.

Y así como polinomio $x^2 +1$ tener grado 2 tiene una raíz en $\mathbb{Z}{5}$. $x^2 +1$ es reducible $\mathbb{Z}{5}$

¿Es razonable esta explicación?

Answer 1

Usted ha encontrado una de las raíces, por la inspección observará que $2$ es también una raíz. Tienes $$x^2+1 = (x-2)(x-3)$ $ si $\mathbb{Z}_5[x]$.

Answer 2

Nota $$X^2+1 \equiv X^2-4 \pmod{5}$ $

Ahora utilizan la diferencia de la fórmula de plazas.