He dado $7n+3$ para todos los enteros $n$ . Y $7n+3$ nunca debe ser el cubo de un entero $m$ . Preferiría una solución usando aritmética modular pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
Sugerencia $\,\ {\rm mod}\ 7\!:\,\ \left[ a^{\large 3}\equiv 3\right]^{\large 2}\! \Rightarrow\, a^{\large 6}\equiv 3^2 \equiv 2\ $ contra el pequeño Fermat.
Nota: $\ $ En respuesta a un comentario, la notación entre corchetes utilizada anteriormente para cuadrar simultáneamente ambos Los lados de la congruencia no son muy utilizados, así que tenlo en cuenta si lo empleas.
Nunca he encontrado esta notación para la exponenciación de ambos lados de una ecuación (o congruencia en este caso). ¿Es una notación propia o la has encontrado en algún sitio?
Según mi experiencia, esto no es ciertamente una notación estándar. Me parece que el uso de palabras es más claro en este caso: "si $a^3\equiv3\pmod 7$ y al elevar al cuadrado ambos lados se obtendría $a^6\equiv2\pmod 7$ que contradice el pequeño teorema de Fermat". El objetivo principal de la comunicación (incluso de la comunicación de las matemáticas) es la claridad, no la brevedad.
Podría ayudar a referenciar (o probar) la primera afirmación. Tal como se presenta actualmente, parece un hecho que sale de la nada.
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Los cubos $\pmod 7$ son $0^3=0,1^3=1,2^3=1,3^3=-1,4^3=1,5^3=-1,6^3=-1$
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