Representación integral de la función de Bessel (K)

Question

Existe una representación integral para la función de Bessel modificada del segundo (o tercer, dependiendo de con quién se hable) tipo (denotada $K_\nu$ ) que dice:

$$K_\nu(z) = \dfrac{\sqrt{\pi}(\frac{1}{2}z)^\nu}{\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\int_1^\infty e^{-z t}(t^2-1)^{\nu-\frac{1}{2}}dt,$$ donde $\Re(\nu)>-\frac{1}{2}$ y $|\mathrm{Arg}(z)|<\frac{\pi}{2}$ .

Mi pregunta es la siguiente: si nos limitamos a las condiciones que $\nu\in\mathbb{R}$ y $z\in\mathbb{R}$ siempre tenemos simetría de orden, es decir $$K_{-\nu}(z)=K_\nu(z).$$ Pero esta ecuación no parece ser simétrica con respecto a $\nu$ , es decir, poner $\pm\frac{1}{4}$ parecen dar ecuaciones diferentes. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Se sabe que la función de Bessel modificada $K_z(a)$ ( $a>0$ )puede expresarse como una transformada de Fourier $$K_\nu(z)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\exp(-z\cosh u)\cosh(\nu u){\rm d}u=K_{-\nu}(z)$$