Problema con función polinómica y arbitraria

Question

Deje $f\in C^4[0,1]$ $p$ un polinomio de grado $3$. Supongamos que: $$f(0)=p(0),\quad f'(0)=p'(0),\quad f(1)=p(1),\quad f'(1)=p'(1)$$ Demostrar que para cada una de las $x\in [0,1]$ existe $\xi\in [0,1]$: $$f(x)-p(x)=x^2(1-x)^2\cdot\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}$$

Trabajo

Se sugirió que yo uso teorema de Rolle. Traté de definir $\epsilon(x)=f(x)-p(x):$

Mediante el uso de la información y aplicar repetidamente el teorema he muestran que: $$\epsilon'''(\alpha)=0$$ para algunos $\alpha\in (0,1)$.

Pero esto no parece útil, así que estoy pensando que no he utilizado el teorema de la manera prevista. Yo no puedo ver cómo llegar al $4$th derivados a través de Rolle.

Alguna idea?

Answer 1

$\forall x\in (0,1)$, que $\displaystyle \phi_{x}(t)=f(t)-p(t)-\frac{f(x)-p(x)}{x^{2}(x-1)^{2}} t^{2}(t-1)^{2}$ donde $t\in [0,1]$

Observe que $\phi_{x}$ tiene tres raíces $t=0,x,1$.

$\exists \alpha{i}\in (0,1)$ tal que $\phi{x}'(\alpha{i})=0$ y $\alpha{i} \notin {0,x,1}$ $i=1,2$

$\phi{x}'(0)=\phi{x}'(1)=0$,

es decir, $\phi_{x}'$ tiene cuatro raíces diferentes.

$\exists \beta{j}\in (0,1)$ tal que $\phi{x}''(\beta_{j})=0$ $j=1,2,3$

$\exists \gamma{k}\in (0,1)$ tal que $\phi{x}'''(\gamma_{k})=0$ $k=1,2$

$\exists \xi\in (0,1)$ tal que $\phi_{x}^{(4)}(\xi)=0$

$\therefore \: f^{(4)}(\xi)-p^{(4)}(\xi)-24\left( \frac{f(x)-p(x)}{x^{2}(x-1)^{2}} \right)=0$

El resultado sigue.