Es $\nu(E) = \max\{\mu(E),\eta(E)\}$ una medida

Question

Sea $\mu$ y $\eta$ sean medidas sobre el espacio medible $(X,\mathcal{M})$ . Para $E \in \mathcal{M}$ definir $\nu(E) = \max\{\mu(E),\eta(E)\}$ . Es $\nu$ una medida sobre $(X, \mathcal{M})$ ?

Mi intento: Uso el hecho: $$\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$$ entonces traté de probar que $\nu$ es una medida y aunque puedo demostrar o llegar a una contradicción.

$$\nu(E)=\max\{ \mu(E), \eta(E) \} = \frac{\mu(E) + \eta(E) +|\mu(E)- \eta(E)|}{2}$$

1. $\nu(\emptyset)=\frac{\mu(\emptyset)+\eta(\emptyset)+|\mu(\emptyset) -\eta(\emptyset)|}{2}=0$ desde $\mu$ y $\eta$ son medida.
2. Consideremos ahora una colección contable disjunta $\{E_k\}_{k=1}^{\infty}$ de conjuntos medibles

\begin{align*} \nu(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k) &= \frac{1}{2} \Big[\mu(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k) +\eta(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k)+\Big|\mu(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k)-\eta(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k)\Big|\Big]\\ &=\frac{1}{2} \Big[\sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \eta(E_k)+\Big|\sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu(E_k)-\sum\limits_{k=1}^{\infty} \eta(E_k)\Big| \Big ]\\ &=\frac{1}{2} \Big[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Big(\mu(E_k) +\eta(E_k)\Big) + \Big|\sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu(E_k) - \eta(E_k)\Big|\Big] \end{align*}

¿Estoy en el buen camino, porque estoy atascado? ¿alguna ayuda? Gracias

Answer 1

Disjoint $E_k$ es el camino correcto, pero basta un simple contraejemplo: Sea $X=\{a,b\}$ , $\mathcal M=\mathcal P(X)$ , $\mu(E)=\begin{cases}1&a\in E\\0&a\notin E\end{cases}$ , $\eta(E)=\begin{cases}1&b\in E\\0&b\notin E\end{cases}$ . Entonces $$\nu(X)=1\ne 2=\nu(\{a\}+\nu(\{b\}).$$