Stokes ' y problemas del teorema de divergencia

Question

Tengo 2 preguntas sobre stokes y el teorema de la divergencia cada uno. Creo que he hecho las dos cosas y yo sólo quiero para asegurarse de que ellos lo hicieron correctamente.

Pregunta 1
Deje $C$ ser el límite de la superficie de la $S={(x,y,z):z=4-x^2-y^2,x^2+y^2\le4, x,y\ge0}$ con orientación relacionados con el derecho-regla de la mano a la alza orientación de $S$. Para $E(x,y,z)=[3yz,zx,2xy]^T$, aplicar Stoke Teorema para calcular la integral de línea cerrada $\int E\cdot Tds$

Mi Trabajo
Así que por Stokes teorema sé $$\int E\cdot Tds = \iint(\nabla \times E)\cdot dS$$ donde $dS=[-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1]$. Por lo $\nabla \times E=[2x,0,-2x]$$dS=[-2x,-2y,1]$, lo que conduce a la integral doble $$\iint -4x^2-2x \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ pero podemos cambiar esto en coordenadas polares. Así tenemos $$\int_0^{2\pi}\int_0^2 (-4(r\cos\theta)^2-2(r\cos\theta))rdrd\theta$$ lo que equivale a $-\frac{32\pi}{3}$.

Pregunta 2
Aplicar el Teorema de la Divergencia para calcular la normal a la superficie integral de $E$ $S$ donde $S$ es la esfera de radio 3 con centro en el $(0,0,0)$ orientada hacia el exterior y $E(x,y,z)=[x^3+yz,y^3+zx,z^3+xy]^T$

Mi Trabajo
El teorema de la divergencia dice $$\iint E\cdot \vec ndr=\iiint(\nabla \cdot E)dxdydz.$$ Por lo que el $\nabla \cdot E = 3(x^2+y^2+z^2)$ que grita coordenadas esféricas. Así que mi triple integral es ahora $$\int_0^3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (3p^2)p^2\sin(\phi)d\phi d\theta dp= \frac{2916\pi}{5}$$

Son ambas correctas?

Answer 1

Esta es una comunidad wiki respuesta tratando de eliminar esta pregunta sin respuesta de la cola.

---

Pregunta 1:

$curl(E)=[2x,0,−2x].$

Esto no es correcto. Si $\mathbf{E} = (3yz,zx,2xy)$, luego $$ \nabla \times \mathbf{E} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x &\partial_y & \partial_z \\ 3yz & zx & 2xy \end{vmatrix} = (2x-x, 3y-2y, z-3z) = (x,y,-2z). $$ Por lo tanto restringido en esta superficie $z=4-x^2-y^2$ tenemos: $$ \nabla \times \mathbf{E}\big\vert_{S} = (x,y, 2x^2+2y^2-8). $$

$ds=[-2x,-2y,1]$.

Hay una menor signo de error en esto, aviso $$ d\mathbf{S} = \left(-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1\right) = (2x,2y,1). $$

Integral doble $\iint(-4x^2-2x ) \,dxdy$ en coordenadas polares $\int_0^{2\pi}\int_0^2 (-4(r\cos\theta)^2-2(r\cos\theta))rdrd\theta$.

$x,y\geq 0$, e $x^2+y^2\leq 4$, por lo tanto la superficie se define en el primer octante , y el rango de $x,y$ debe ser el primer cuadrante en el $xy$-plano. El rango del ángulo polar debe ser de $0$ sólo $\pi/2$. Combinar todos los resultados anteriores: $$ \oint_C \mathbf{E}\cdot \mathbf{t} \,ds = \iint_S\nabla \times \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} \\ = \iint_{\{x,y\geq 0 : \; x^2+y^2\leq 4\}} (2x^2+2y^2 + 2x^2+2y^2-8 ) \,dxdy \\ =\int^{\pi/2}_0 \int^2_0 (4r^2-8)r\,drd\theta = 0.$$

---

Pregunta 2:

Así que mi triple integral es ahora $\int_0^3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (3p^2)p^2sin(\phi)d\phi d\theta dp$ = $\frac{2916\pi}{5}$.

La polar conjunto integral es perfecto, sólo me sugieren el uso de $r$ como la radial variable: $$ \int_0^3\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (3r^2)r^2\sin \phi \,d\phi d\theta dr. $$