Para $m \geq 1$ un entero y $k>0$ un número real, definir $$F_{k,m}(x) = \sum\limits_{a_1\cdots a_m \leq x} \dfrac{1}{(a_1 \cdots a_m)^k}$$ En particular, se ha $$F_{k,3}(x) = \sum\limits_{abc \leq x} \dfrac{1}{(abc)^k}$$ (Aquí el producto es más de la $m$-tuplas $(a_1, ..., a_m)$ de los números enteros mayores o iguales a $1$ tal que el producto $a_1 \cdots a_m$ es menor que o igual a $x$).
Mi pregunta: ¿cuál es la asymptotics de $F_{k,m}(x)$$x \to \infty$? Al menos hay algunas buenas límites superior?
Ideas: Traté de $m=3$, cuando se $k \neq 1$: $$F_{k,3}(x) \ll \sum_{a \leq x} \sum_{b \leq \frac x {a}} \dfrac{(x/ab)^{k+1}} {k+1} \ll x^{k+1} \sum_{a \leq x} \frac 1 a \sum_{b \leq \frac x {a}} \frac 1 b \ll x^{k+1} \sum_{a \leq x} \frac 1 a \ln(x/a) \leq x^{k+1} \ln(x) \sum_{a \leq x} \frac 1 \ll x^{k+1} \ln(x)^2$$
Al $k=1$, conseguí $F_{1,3}(x) \ll \ln(x)^3$ Al parecer tenemos $F_{1,3}(x) = \dfrac{\ln(x)^3}{6} + O(\ln(x)^2)$. ¿Cómo lo puedo encontrar? ¿Y el caso general para $k>0$ (y para $m>3$)?
Gracias.
