Pregunta sobre cálculo de hypercohomology

Question

Quiero calcular el algebraicas de Rham cohomology de $\mathbb{C}^*$, y estoy confundido. No tengo mucho de fondo en esto, así que me esperaba un ejemplo concreto sería clara de una gran cantidad de esta confusión. Hasta ahora:

Tenemos esta cochain de $\mathbb{C}[x,x^{-1}]$-módulos:

$0 \longrightarrow \mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}[x,x^{-1}] \longrightarrow {\Omega}_{\mathbb{C}[x,x^{-1}]/\mathbb{C}}^1 \longrightarrow 0$

donde ${\Omega}_{\mathbb{C}[x,x^{-1}]/\mathbb{C}}^1 = \mathbb{C}[x,x^{-1}] dx$. (según tengo entendido)

Como yo lo entiendo, para obtener el de Rham cohomology queremos un Cartan–Eilenberg solución para este cochain y, a continuación, queremos una izquierda functor exacto $F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ donde $\mathcal{A}$ es nuestro módulo de categoría.

A continuación, queremos calcular el total de cohomology de $F(I)$ donde $I$ es nuestra resolución.

Mi problema parece estar haciendo estas cosas, tengo que encontrar a $I,F$ explícitamente? ¿Cómo puedo hacer esto?

Answer 1

Para un buen esquema afín $X$ finito de tipo más de $\mathbb C$ el de Rham cohomology $H^*_{dR}(X)$ es sólo el cohomology del complejo mundial de formas diferenciales: $$H^*_{dR}(X)=H^*(\Gamma(X,\Omega^*_X))$$
En su caso, usted tiene que calcular la cohomology de la compleja $$0 \longrightarrow \mathbb{C}[x,x^{-1}] \stackrel {d}{\longrightarrow} \mathbb{C}[x,x^{-1}]\cdot dx \longrightarrow 0$$ and you immediately get: $$H^0_{dR}(X)=\mathbb C,\quad H^1_{dR}(X)=\mathbb C \cdot \frac {dx}{x}\cong \mathbb C, \quad H^i_{dR}(X)=0 \quad \text {for} \quad i\geq 2$$ This is in line with the fact that algebraic cohomology coincides with the classical topology of the underlying complex holomorphic manifold $X^h$: $$H^*_{dR}(X)=H^*(X^h,\mathbb C)$$

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