Demostrar que si $\mathrm{e}^X$ y $\mathrm{e}^Y$ no están correlacionados, entonces también lo están $X$ y $Y$ cuando $(X,Y)$ son conjuntamente normales.

Question

Bueno, el título lo dice todo. Tengo que demostrar que si $(X,Y)$ son conjuntamente normales y $\mathrm{e}^X$ y $\mathrm{e}^Y$ no están correlacionados, entonces también lo están $X$ y $Y$ .

Aunque el libro (A Probability Path, de Resnick) no lo hace explícito, estoy asumiendo que "conjuntamente normal" significa una distribución normal bivariada (como se deduce de aquí y aquí (subsección "Caso bivariante").

Realmente no sé cómo empezar a resolver esto. Cualquier ayuda o pista será apreciada. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Gracias a la pista dada por @JGWang pude resolverlo. Aporto mi respuesta aquí:

Dejemos que $(X,Y) \sim \mathcal{N}((\mu_X, \mu_Y), \Sigma)$ con $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \mathrm{Cov}(X,Y) \\\mathrm{Cov}(Y,X) & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}.$$

Completando el cuadrado, podemos demostrar que $$\mathbf{E}(\mathrm{e}^X) = \exp\left(\frac{(\mu_X + \sigma_X^2)^2 - \mu_X^2}{2\sigma_X^2}\right),$$ ídem con $Y$ . Ahora, si denotamos $\rho = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_Y\sigma_Y}$ entonces se sabe que la función de densidad de $(X,Y)$ es $$\begin{align} f_{X,Y}(x,y) =& \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}} \times \dotsb\\ & \dotsb \times\exp \left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} + \frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\right]\right). \end{align}$$ Con esto, podemos replicar los cálculos realizados anteriormente (es decir, completando el cuadrado) y demostrar que $$\mathbf{E}(\mathrm{e}^{X+Y}) = \exp\left(\mu_X + \mu_Y + \frac{1}{2}\left( \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho \sigma_X\sigma_Y \right)\right).$$ Dado que $\mathrm{e}^X$ y $\mathrm{e}^Y$ no están correlacionados, entonces tenemos que $\mathbf{E}(\mathrm{e}^{X+Y})=\mathbf{E}(\mathrm{e}^{X})\mathbf{E}(\mathrm{e}^{Y})$ . Si se combinan los términos, se obtiene $$\rho \sigma_X \sigma_Y = 0 \implies \rho = 0 \implies \mathrm{Cov}(X,Y) = 0,$$ donde ambas implicaciones son verdaderas porque $\sigma_X,\sigma_Y > 0$ .