Pregunta sobre que representa el espacio Dual

Question

En Fulton y Harris' Teoría de la Representación, a la derecha en el principio en el que se introducen las representaciones, se nota

El dual $V^{\ast} = \mbox{Hom}(V,{\mathbb C})$ $V$ es también una representación, aunque no en la forma más obvia: queremos que la rwo representaciones de $G$ respecto a los naturales de emparejamiento (denotado $\langle\hspace{.1in}, \hspace{.1in}\rangle$) entre $V^{\ast}$$V$, por lo que si $\rho:G\rightarrow \mbox{GL}(V)$ es una representación y $\rho^{\ast}:G\rightarrow \mbox{GL}(V^{\ast})$ es el doble, se debe tener $\langle\rho^{\ast}(g)(v^{\ast}), \rho(g)(v)\rangle = \langle v^{\ast},v\rangle$ para todos los $g\in G$, $v\in V$, y $v^{\ast}\in V^{\ast}$. Esto a su vez nos obliga a definir la doble representación por $\rho^{\ast}(g) = ^{t}\rho(g^{-1}):V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}$ todos los $g\in G$.

Tengo un par de preguntas sobre este tema.

1. ¿Qué es esto natural de emparejamiento que se están refiriendo? Es lo que podemos hacer de nuestra base de que $e^{\ast}_{i}(e_{j}) = \delta_{ij}$?
2. (Esto puede ser respondida por la pregunta anterior) ¿Qué es la igualdad entre estas dos relaciones, lo que implica?
3. ¿Qué es esta notación en la definición de la representación dual -- esto es la transpuesta de la imagen de la inversa de $g$? Donde se esta viniendo?

Answer 1

El natural de emparejamiento bilineal entre el $V^*$ $V$ es el emparejamiento $\langle \mathbf{f},v\rangle = \mathbf{f}(v)$ por cada $\mathbf{f}\in V^*$ y cada una de las $v\in V$.

La igualdad significa que queremos que la representación de $V$ e de $V^*$ a "respetar" la relación entre el$V^*$$V$. Deje $v_1,\ldots,v_n$ ser una base para $V$, y deje $v_1^*,\ldots,v_n^*$ ser la base dual. Si $\rho\colon G\to \mathrm{GL}(V)$ ser una representación y queremos $\rho^*$ a satisfacer la propiedad deseada, entonces tenemos $$\langle \rho^*(g)(v_i^*),\rho(g)(v_j)\rangle = \langle v_i^*,v_j\rangle = \delta_{ij}$$

Eso significa que $\rho^*(g)(v_1^*),\ldots,\rho^*(g)(v_n^*)$ debe ser la base dual a $\rho(g)(v_1),\ldots,\rho(g)(v_n)$.

Pero debido a un mapa de $V\to W$ induce un mapa en dos espacios de ir de otra manera, $W^*\to V^*$, la manera de lograr esto es el mapa $V^*\to V^*$ por el mapa inducida por $\rho(g^{-1})$, en lugar del mapa inducida por $\rho(g)$. Y el mapa inducida por $\rho(g^{-1})$ ha matriz dada por la conjugada transpuesta de la matriz dada por $\rho(g^{-1})$.