Más fuerte topología hace bola de la unidad compacta

Question

Que $X$ ser un espacio de Banach y $X^$ ser su doble. Sea $\mathbb{B}^$ la bola unidad cerrada en $X^$. El teorema de Banach-Alaoglu afirma que $\mathbb{B}^$ es compacto en la topología $\sigma(X^, X)$. Mi pregunta es si existe una topología $\tau$ $X^$, $\tau\ne\sigma(X^,X)$ tal que % o $\sigma(X^,X)\subset\tau\subset\sigma(X^*, X^{*})$ $\sigma(X^,X)\subset\tau\subset\tau(|.|)$y $\mathbb{B}^*$ son compacto en la topología $\tau$.

Gracias por toda ayuda.

Answer 1

No. Esto se deduce del siguiente bien conocido teorema.

Teorema. Deje $\langle X,\tau\rangle$ ser cualquier compacto de Hausdorff espacio. Supongamos que $\tau'$ $\tau''$ son topologías en $X$ tal que $\tau'\subsetneqq\tau\subsetneqq\tau''$. A continuación, $\langle X,\tau'\rangle$ es compacta pero no Hausdorff, y $\langle X,\tau''\rangle$ es Hausdorff, pero no compacto. Es decir, un compacto Hausdorff topología es máxima compacto y un mínimo de Hausdorff.

El positivo partes del teorema son evidentes. A ver que $\langle X,\tau''\rangle$ no es compacto, vamos a $K\subseteq X$ $\tau''$- cerrado, pero no $\tau$-cerrado. Compacto subconjuntos de espacios de Hausdorff son cerradas, por lo $K$ no $\tau$-compacto. Pero entonces claramente $K$ no $\tau''$-compacto, y desde $K$ $\tau''$- cerrado, se sigue que $\langle X,\tau''\rangle$ no es compacto.

A ver que $\langle X,\tau'\rangle$ no es Hausdorff, vamos a $K\subseteq X$ $\tau$- cerrado, pero no $\tau'$-cerrado. $K$ $\tau$- compactas, $\tau'$- compacto. Si $\langle X,\tau'\rangle$ fueron Hausdorff, $K$ sería, por tanto, por $\tau'$-cerrado. Ya no es, $\langle X,\tau'\rangle$ no es Hausdorff.