Mostrar que hay un % constante no cero $a$tal que $T_1(v)=aT_2(v)$ % todo $v\in R^n$

Question

Deje $T_1$ $T_2$ dos transformaciones lineales de$R^n$$R^1$. Si $ker(T_1)=ker(T_2)$, muestran que hay un no-cero constante $a$ tal que $T_1(v)=aT_2(v)$ todos los $v\in R^n$

Mi Intento-

Análisis: necesito conseguir $T_1(v)=aT_2(v)$ $Av=aBv$

Desde $T_1$ $T_2$ son asignaciones de$R^n$$R^1$, ambas deben ser $1\ X\ n$ fila matrices. (No estoy seguro de cómo esto le ayudará.)

Deje que la matriz estándar para $T_1$ $T_2$ ser a y B, respectivamente. Por lo tanto, $ker(T_1)$ es el espacio de la solución de $Ax=0$ y al igual, $ker(T_2)$ es el espacio de la solución de $Bx=0$

No estoy haciendo ningún progreso. ¿Alguien puede guiarme en la dirección correcta? Gracias Pila!@ Debo a usted una y otra vez.

Answer 1

Consideramos dos casos: Si $\ker T_1 = \mathbb R^n$, tenemos $T_1 = 0$ y $\ker T_2 = \mathbb R^n$ % también $T_2 = 0$. Luego lo $a = 1$.

De lo contrario, $\ker T_1$ es un subespacio dimensional de la $n-1$ $\mathbb R^n$, que $x \in \mathbb R^n \setminus \ker T_1$. Como $\ker T_1$ $(n-1)$-dimensional, tenemos $\ker T_1 \oplus \langle x \rangle = \mathbb R^n$. Tenemos $T_2(x) \ne 0$, $x \not\in \ker T_2 = \ker T_1$, ahora que $a := \frac{T_1(x)}{T_2(x)}$. No $y \in \mathbb R^n$, $y$ puede ser escrito como $y = u + \lambda x$ $u \in \ker T_1$, $\lambda \in \mathbb R$. Tenemos\begin{align} T_1(y) &= T_1(u) + \lambda T_1(x)\ &= \lambda T_1(x)\ &= \lambda a T_2(x)\ &= a T_2(u) + a\lambda T_2(x)\ &= aT_2(u+ \lambda x)\ &= a T_2(y). \end{align} como arbitraria, $y$ $T_1 = aT_2$.

Answer 2

Tenemos $$ T_1 (x) = v_1\cdot x, \ T_2 (x) = v_2\cdot x \quad \forall x \in \mathbb{R}^n $$ $v_1,v_2 \in \mathbb{R}^n$. Desde $ \ker (T_1) = v_1 ^ \perp = \ker (T_2) = v_2 ^ \perp, $$ sigue que $v_2=a v_1$ $a$ real constante distinto de cero. Por lo tanto cada $x \in \mathbb{R}^n$ tenemos $$ T_2 (x) = a (x)=aT_1(x) de v_1\cdot. $$

Answer 3

Si $\dim( \ker( T_1))=n$ es fácil. Asumir así $\dim( \ker( T_1))\neq n \Rightarrow T_1 \neq0$.
El ejercicio sugerimos para definir $\alpha$ $\alpha=\dfrac{T_1(u)}{T_2(u)}$ $u$ $T_1(u)\neq 0$.
Si $T_1(v)\neq 0$ y $v-\dfrac{T_1(v)}{T_1(u)}u \in \ker( T_1)=\ker( T_2)$.
Así $T_2\left(v-\dfrac{T_1(v)}{T_1(u)}u\right)=0 \Rightarrow T_2(v)=\dfrac{T_1(v)}{T_1(u)}T_2(u)=\dfrac{1}{\alpha}T_1(v) \Rightarrow T_1(v)=\alpha T_2(v).$