¿Hay una forma con área infinita pero con perímetro finito?

Question

¿Es esto realmente posible? ¿Hay algún otro ejemplo de esto aparte del Copo de Nieve de Koch? Si es así, ¿puedes probar que ese ejemplo es cierto?

Answer 1

Se puede tener una región acotada en el plano con área finita y perímetro infinito, y esto (y no lo contrario) es cierto para (el interior de) la Copo de nieve Koch .

Por otro lado, el Desigualdad isoperimétrica dice que si una región delimitada tiene área $A$ y el perímetro $L$ entonces $$4 \pi A \leq L^2,$$ y en particular, un perímetro finito implica un área finita. De hecho, la igualdad se mantiene aquí si y sólo si la región es un disco (es decir, si su límite es un círculo). Véase estas notas (pdf) para saber más sobre esta desigualdad, incluyendo algunas pruebas.

(Como observa Peter LeFanu Lumsdaine en los comentarios más abajo, demostrar esta desigualdad en toda su generalidad es técnicamente exigente, pero para responder a la pregunta de si existe una región acotada con área infinita pero perímetro finito, basta con saber que existe algunos constante positiva $\lambda$ para lo cual $$A \leq \lambda L^2,$$ y es fácil verlo intuitivamente: Cualquier curva simple y cerrada de longitud $L$ debe estar contenido en el disco de radio $\frac{L}{2}$ centrado en cualquier punto de la curva, por lo que el área de la región que encierra la curva es menor que el área del disco, es decir, $$A \leq \frac{\pi}{4} L^2.)$$

Nótese que la desigualdad isoperimétrica no es cierta, sin embargo, si se permiten superficies generales (aproximadamente, formas bidimensionales no contenidas en el plano. Por ejemplo, si se parte de un disco y se "empuja el interior hacia fuera" sin cambiar el límite circular del disco, entonces se puede hacer una región con un perímetro dado (la circunferencia del círculo límite) pero con una superficie (finita) tan grande como se quiera.

Answer 2

Es una cuestión de semántica.

¿Qué es una "forma" sino un subconjunto del plano separado del resto por una curva? Pero qué subconjunto ?

Una circunferencia (por ejemplo) es una curva cerrada finita (con perímetro finito) que separa y define dos subconjuntos del plano - convencionalmente elegimos el que tiene área finita y lo llamamos "círculo". Pero la circunferencia también define el subconjunto con área infinita que queda "fuera" (que es un concepto convencional). Esa otra "forma exterior" sería un ejemplo de curva de perímetro finito con área infinita.

Eso suena a trampa y a juego de palabras. Pero piénsalo: ¿qué otro aspecto podría tener un área infinita delimitada por una curva finita? Si sólo te permites mirar el "interior" de cualquier curva cerrada, ésta no podría tener un área infinita porque siempre se puede definir una circunferencia "alrededor" cuyo círculo contendría necesariamente por completo la primera forma y también sería de área finita. Cualquier forma posible con área infinita y perímetro finito tendría que ser el "exterior" delimitado por una curva cerrada.

Así que la respuesta a tu pregunta depende de si te interesa considerar el "exterior" de una curva cerrada (en cuyo caso todas las curvas cerradas delimitan tales formas), o si no te interesa (en cuyo caso no puede haber ninguna forma de este tipo).

Answer 3

Considera un cuadrado de 1 por 1, deja que su forma sea todo en el espacio euclidiano de 2 dimensiones excepto este cuadrado. El perímetro es 4, el área es $\infty$ .

Answer 4

La figura geométrica que ocupa la mayor superficie dado un perímetro fijo es el disco de un círculo. Pero todos los círculos con perímetros finitos tienen áreas finitas. $($ En tres dimensiones, la forma geométrica que ocupa el mayor volumen dada una superficie fija es la esfera. Por lo tanto, si tu pregunta se refiriera a objetos tridimensionales con volumen infinito y perímetro finito, la respuesta seguiría siendo un no $)$ . Ambos resultados $($ así como otros innumerables problemas de optimización, sobre la búsqueda de los extremos $[$ es decir, mínimos y máximos $]$ de una función $)$ se obtienen mediante el cálculo.

Answer 5

Cualquier subconjunto acotado de $\mathbb{R}^2$ tiene claramente un área finita (suponiendo que $A \subseteq B$ implica $Area(A) \leq Area(B)$ (lo que es cierto, por ejemplo, con la medida de Lebesgue o cualquier otro sentido razonable de "área"), por lo que para que dicho conjunto exista, tendría que ser ilimitado.

El perímetro es más difícil de definir, pero creo que es creíble que para cualquier sentido significativo del perímetro $p$ , $p(A) \geq \sup \{ |x_1 - x_2| : x_1,x_2 \in A \}$ es decir, el perímetro de un conjunto es al menos tan grande como la distancia entre dos puntos cualesquiera del conjunto. Por lo tanto, si el conjunto no tiene límites, su perímetro no puede ser finito.