¿Ecuación de Laplace en las esquinas y el límite de un rectángulo?

Question

Considerar para algunos rectángulo $[a,b] \times [c,d] \in \mathbb{R}^2$, tenemos un genérico de valor en la frontera problema: \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y ^2}=0, & a<x<b \textrm{ and } c<y<d\\ u(x,c)=g_c(x), & a<x<b \\ u(x,d)=g_d(x), & a<x<b \\ u(a,y)=h_a(y), & c<y<d \\ u(b,y)=h_b(y), & c<y<d \end{casos} \end{ecuación*} que se describe, dicen, el estado de equilibrio en la distribución del calor de un 2-dimensiones del rectángulo.

Me di cuenta de que la ecuación diferencial parcial se especifica para $a<x<b$$c<y<d$, no$a\le x \le b$$c \le y \le d$. Y lo mismo para las condiciones de contorno, que no incluyen sus endpoinds. Tengo dos preguntas:

1. ¿Este valor en la frontera problema dicen nada acerca de las esquinas del rectángulo? Por ejemplo, ¿la BVP implica necesariamente que $g_c(a)=h_a(c)$, $g_c(b)=h_b(c)$, $g_d(a)=h_a(d)$ y $g_d(b)=h_b(d)$?
2. ¿La Ecuación de Laplace $\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y ^2}=0$ sólo se mantiene en el interior del rectángulo, yo.e en el $a<x<b$ $c<y<d$ como se indica en el problema? O, ¿es la ecuación de Laplace también es válida para los $x$ $y$ sobre el límite, por lo que el $\frac{\partial ^2 u}{\partial x ^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial y ^2}=0$ todos los $a \le x \le b$$c \le y \le d$? Me gustaría decir que él tiene para todos los $(x,y) \in [a,b] \times [c,d]$, pero de nuevo, esto depende de si en realidad se sostiene en la frontera.

Gracias!

Answer 1

Creo que hay tres cosas importantes que decir aquí. La primera es simple: la ecuación diferencial de la BVP en un dominio es asumido de mantener en el interior del dominio. En el límite, a menudo no hay manera de sensatez definir todos los derivados en el problema. Normalmente hay una forma para definir algunos de los derivados en el límite; por ejemplo, si la función es dos veces continuamente diferenciable en el interior, entonces su pendiente tiene una bien definida la extensión de los límites, pero su segunda derivados, generalmente, no. (Tenga en cuenta que esta extensión no es realmente una derivada en el sentido usual, sino que es simplemente el límite de la derivada como acercarse a la frontera.)

En segundo lugar, usted debe esperar que el mal comportamiento donde el límite no es suave. Por ejemplo, este problema puede sensatez formular una condición de contorno que, si se extiende a las esquinas, requeriría la función de tomar dos valores diferentes en los mismos rincones. La situación es aún peor para una condición de Neumann, en la que el vector normal a la frontera no serán definidas donde el límite no es suave, lo que hace que sea imposible imponer un pointwise flujo de condición de allí.

Tercero, todo esto es natural en términos de la débil formulación. A grandes rasgos las esquinas no aportan nada en absoluto a la débil formulación, porque ellos no tienen la longitud, por lo que no contribuyen a la correspondiente a las integrales. Como yo no estoy del todo seguro de su nivel, voy a ampliar sobre esto si y sólo si me preguntan en los comentarios.

Answer 2

El problema como se indicó no implica nada acerca de las esquinas; por ejemplo, no implica que el $g_c(a)$ está definido aún, e incluso si le sucede a ser definido, nada exige que la igualdad de $h_a(c)$.

Normalmente la solución de $u$ es considerada una función en $[a,b] \times [c,d]$. Como tal, no tiene sentido hablar de, por ejemplo, el $y$ derivadas parciales de $u$ a un punto de con $y=c$, debido a que la derivada depende de los valores de $u$ en puntos fuera del rectángulo, donde es indefinido. Así que no podemos decir que la ecuación de Laplace se sostiene en la frontera, ya que la declaración no tiene sentido.