Tripletes pitagóricos primitivos patrón de números impares

Question

Estoy leyendo "Introducción amigable a la teoría de números". Ahora estoy trabajando en los Ejercicios de Tríos Pitagóricos Primitivos 2.3 (a) en la P19.

2.3. Para cada una de las siguientes preguntas, comience compilando algunos datos; luego examine los mismos y formule una conjetura; y finalmente intente demostrar que su conjetura es correcta. (Pero no se preocupe si no puede resolver todas las partes de este problema; algunas partes son bastante difíciles).

(a) ¿Qué números impares $a$ pueden aparecer en un trío pitagórico primitivo ($a, b, c)$?

https://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf

(1) $a^2 + b^2 = c^2$ con $a$ impar, $b$ par, $a$, $b$, $c$ no teniendo factores comunes

(2) $a^2 = c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)$

(3) $c + b = s^2$ y $c - b = t^2$

(4) $c = \frac{(s^2 + t^2)}{2}$ y $b = \frac{(s^2 - t^2)}{2}$

(5) $a = \sqrt{(c-b)(c+b)} = st$

(6) $a = st$, $b = \frac{(s^2 - t^2)}{2}$, $c = \frac{(s^2 + t^2)}{2}$

Compilé algunos datos y los examiné, pero no puedo encontrar el patrón. ¿Puedes ver algún patrón? Necesito una pista.

https://github.com/y-zono/friendly-introduction-number-theory/blob/master/02/2-3/main.go

{a   b  c   s  t}
--------------
{3   4  5   3  1}
{5  12  13  5  1}
{7  24  25  7  1}
{9  40  41  9  1}
{11 60  61  11 1}
{13 84  85  13 1}
{15 8   17  5  3}
{15 112 113 15 1}
{17 144 145 17 1}
{19 180 181 19 1}
{21 20  29  7  3}
{33 56  65  11 3}
{35 12  37  7  5}
{39 80  89  13 3}
{45 28  53  9  5}
{51 140 149 17 3}
{55 48  73  11 5}
{57 176 185 19 3}
{63 16  65  9  7}
{65 72  97  13 5}
{77 36  85  11 7}
{85 132 157 17 5}
{91 60  109 13 7}
{95 168 193 19 5}
{99 20  101 11 9}

a:   3 5 7 9 11 13 15 15 17 19 21                33 35    39       45       51    55 57       63 65                77          85       91    95    99
impar: 3 5 7 9 11 13 15    17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

---

Actualización 1

Según el consejo de davidlowryduda, compilé algunos datos más. Luego encontré que aparecía el 23.

// máximo de s = 20
a:   3 5 7 9 11 13 15 15 17 19 21                33 35    39       45       51    55 57       63 65                77          85       91    95    99
impar: 3 5 7 9 11 13 15    17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

// máximo de s = 30
a:   3 5 7 9 11 13 15 15 17 19 21 21 23 25 27 29    33 35    39       45       51    55 57       63 65    69       75 77          85 87    91    95    99
impar: 3 5 7 9 11 13 15    17 19 21    23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Y ahora el 31 no aparece, pero puedo asumir que el número existe cuando compile más datos.

$s=31$ y $t=1$ o $s=1$ y $t=31$

$s=31$, $t=1$ entonces $(s^2t^2)/2=(9611)/2=480$ y $(s^2+t^2)/2=(961+1)/2=481$

$31^2+480^2=481^2$

Por lo tanto, resulta que 31 aparece.

// máximo de s = 40
3 5 7 9 11 13 15 15 17 19 21 21 23 25 27 29 31 33 33 35 35 37 39 39       45       51    55 57       63 65    69       75 77          85 87    91 93 95    99
3 5 7 9 11 13 15    17 19 21    23 25 27 29 31 33    35    37 39    41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Confirmé que el 31 apareció cuando mostré más datos. Y ahora el 41 no se muestra esta vez.

Entonces puedo asumir que todos los números impares aparecen y creo que puedo encontrar algo del patrón.

Answer 1

¡Gran pregunta!

Al observar tus datos, parece que piensas que no todos los números impares aparecen en un triángulo pitagórico primitivo. ¿Es así? Y el primer número que no has encontrado es $23$.

Puede ser una buena idea ver si puedes encontrar específicamente un triángulo que contenga $23$. Una idea puede ser ver $(a, b, c) = (st, (s^2 - t^2)/2, (s^2 + s^2)/2)$, así que intenta escribir $a = st$.

Para ti, eso significa que $23 = st$. ¡Este es un buen ejemplo para intentar, ya que solo hay dos posibles factorizaciones, ya que $23$ es primo! O bien $s = 23$ y $t = 1$, o $s = 1$ y $t = 23$.

Supongamos que tomamos $s = 23, t = 1$. Entonces $(s^2 - t^2)/2 = (529-1)/2 = 264$ y $(s^2 + t^2)/2 = 265$. Al verificar, comprobamos que $23^2 + 264^2 = 265^2$, y este es un triplete primitivo.

¡Así que resulta que $23$ aparece después de todo!

Si continuas con este tipo de pensamiento, deberías descubrir que puedes describir todos los números impares $a$ que aparecen en un triángulo pitagórico primitivo.

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Vamos a convertir esta pista en una estrategia. ¡Recopilaste datos (¡muy bien!), los formateaste para detectar patrones y empezaste a identificar un patrón!

Puede ser muy difícil identificar patrones con datos incompletos, así que es buena idea intentar presionar y examinar tus datos un poco. Esperemos que descubras que están lo suficientemente completos para que el patrón esté ahí.

Una forma particularmente buena es considerar explícitamente algunos de los casos límite en tus datos. En este caso, miré el número impar más pequeño que no aparece en los datos --- ¡solo para descubrir que en realidad sí estaba allí! Pero ¿tal vez el siguiente número impar más pequeño es interesante? ¿O tal vez no!

¡Buena suerte!