Dado un dominio $\Omega$ el espacio $H^{1/2}(\partial \Omega)$ puede definirse como la imagen del operador de rastreo $\gamma: H^{1}(\Omega) \rightarrow H^{1/2}(\partial \Omega)$ que (a grandes rasgos) es el operador lineal que asocia a cada $\varphi \in D(\overline{\Omega})$ su restricción sobre $\partial \Omega$ es decir $\gamma \varphi = \varphi|_{\partial \Omega}$ . Obsérvese que la ampliación de la definición de $\gamma$ de $D(\overline{\Omega})$ a $H^1({\Omega})$ es legítima porque esta última es densa en la primera.
A mi entender, dada una parte del límite $\Gamma \subset \partial \Omega$ el espacio $H^{1/2}_{00}(\Gamma)$ se define como el espacio de funciones con soporte en $\Gamma$ cuya extensión trivial por cero fuera de $\Gamma$ pertenece a $H^{1/2}(\partial \Omega)$ .
Mi pregunta es: dada una función genérica sobre $\Gamma$ ¿cómo puede uno estar seguro de que pertenece a $H^{1/2}_{00}(\Gamma)$ ?
Creo que esta cuestión se puede relacionar con la buena propuesta del siguiente problema. Consideremos el dominio $\Omega = (0,1)^2$ y el problema $-\Delta u = f$ en $\Omega$ , $u = g$ en $\Gamma_D = \{1\} \times (0,1)$ y $u = 0$ en $\partial \Omega \setminus \Gamma_D$ . ¿Admite esta ecuación una solución $u \in H^1(\Omega)$ para una función general $g$ ? Si no es así, ¿en qué condiciones vive la solución en dicho espacio?
