Sobre la prueba de que "una secuencia acotada y monótona es convergente"

Question

He leído una referencia acerca de la prueba de "una acotada y monótona sucesión es convergente", en una cierta PDF escrito por un profesor de física.

Los detalles de la referencia es que la proposición "una acotada y monótona sucesión es convergente" no puede ser probado sin la contradicción método.

Pero,miro la prueba del teorema en otros tres libros , Este teorema es que al parecer no se demostró con la prueba indirecta en los libros.

Estoy muy confundido. Tal vez, Creo que nos implícitamente el uso de reductio ad absurdum en la demostración de la proposición.

Me gustaría que la gente se familiarice con este problema que responder.

Answer 1

Que la proposición puede ser probado sin la contradicción método.

Prueba: Supongamos que $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ es creciente y acotada (el caso en el que es la disminución es similar). Desde el set $\{a_n\,|\,n\in\mathbb{N}\}$ está delimitado anteriormente, tiene un supremum $s$. Voy a demostrar que $\lim_{n\to\infty}a_n=s$. Tome $\varepsilon>0$. Entonces, desde el $s-\varepsilon<s$, $s-\varepsilon$ es no es una cota superior de a$\{a_n\,|\,n\in\mathbb{N}\}$. Por lo tanto, hay algunas natural $N$ tal que $a_n>s-\varepsilon$. Y si $n\geqslant N$, a continuación, $s-\varepsilon<a_N\leqslant a_n\leqslant s$. En particular,$$n\geqslant N\implies\lvert a_n-s\rvert<\varepsilon.$$