Encontrar una expresión como función elemental para una serie de potencias

Question

Considere $$h(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(z-2)^n}{n}.$$ Deseo encontrar una expresión para $h$ como una función elemental.

Esta pregunta me tiene perplejo. He considerado otra función, $$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n(z-2)^n.$$ Esto es mucho más fácil de expresar como una función elemental, como $$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n(z-2)^n=(z-2)\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^{\infty} (z-2)^n=\frac{z+3}{(z+2)^2}.$$ Pero para la función $h$ No puedo ver una técnica similar o una manipulación para obtener dicha función.

Agradecería mucho una pista .

Answer 1

Sugerencia: formalmente $h'(z)=\sum (z-2)^{n-1}$ . Calcula esta suma e intégrala. La respuesta es $Log (3-z)$ para $|z-2| <1$ donde $Log$ es la rama principal del logaritmo. Para responder a esta pregunta hay que tener conocimientos de logaritmos en el plano complejo.

Answer 2

Tomando la parte convergente de esta suma y haciendo

$$ y = z-2 $$

tenemos

$$ h(y) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{y^k}{k} = \int_0^y\sum_{k=0}^{\infty}\zeta^kd\zeta = \int_0^y\frac{d\zeta}{1-\zeta} $$

Answer 3

Sugerencia :

En lugar de mirar $h$ Primero, intente calcular lo que $$\frac{\partial h}{\partial z}$$ sería.