Estoy interesado en la relación entre el Atiyah-Patodi-Cantante-$\eta$ invariante y spin topológico de la teoría cuántica de campos. En el papel Saltado al Límite de las Fases de los Aislantes Topológicos a través de Acoplamiento Débil por Seiberg y Witten, se presentó tal relación entre los dos.
Vamos a la $3+1$ dimensiones del colector $X$ el volumen de un aislante topológico. Su bounday $W$ es $2+1$ dimensiones múltiples. Deje $\chi$ ser una masa de Dirac fermión en el bounday colector $W$. Entonces, la integración de la frontera fermión
$$\int_{W}d^{3}x\,i\bar{\chi}D \!\!\!\!/\,\chi\,, $$
donde $D_{\mu}=\partial_{\mu}+iA_{\mu}$, uno tiene la función de partición
$$\mathcal{Z}=|\det(iD)|e^{-i\pi\eta(A)/2}.$$
Hasta ahora, esto es sólo la norma de paridad anomalía en dimensiones impares.
En la página 35, los autores afirmaron que el factor de $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$ es en realidad la función de partición de un topológico de la teoría cuántica de campos, llamados spin-Ising TQFT. El nombre viene del hecho de que está relacionado con el 2D del modelo de Ising de CFT. Los autores explican que esto se debe a la Libre-Dai teorema.
Yo realmente no entiendo mucho del papel de la Libera-Dai teorema debido a su carga de matemáticas. Pero a mi entender, es decir que el $\eta$ invariante es algún tipo de invariantes topológicos y cobordism invariante, que satisface el encolado y la cirugía de los axiomas de TQFT. Por lo tanto, el factor de $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$ puede ser tratada como la función de partición de algunos TQFT.
Ahora la pregunta es ¿por qué este TQFT es el llamado spin-Ising TQFT. Los autores afirman que la función de partición de la spin-Ising TQFT debe ser de módulo de $1$ debido a que el $\mathbb{Z}_{2}$ quirales anillo generado por el campo de $\psi$ (desde el 2D del modelo de Ising $\left\{1,\sigma,\psi\right\}$) tiene sólo una representación.
Pregunta 1: ¿por Qué el hecho de que el quirales álgebra tiene una representación que hace su función de partición de módulo de $1$?
A continuación, los autores mostraron un ejemplo, tomando el colector $W$ a $S^{2}\times S^{1}$, que la función de partición de la correspondiente spin-Ising TQFT es $\pm 1$, lo cual es una fase. Entonces, por la Libera-Dai teorema, afirmaron que, en general, la función de partición de un spin-Ising TQFT debe ser $\Phi=e^{-i\pi\eta/2}$.
Yo realmente no entiendo mucho del papel de la Libera-Dai teorema. Podría alguien por favor me ilumine sobre cómo se deben aplicar dicho teorema para este caso?
Los autores explican en la siguiente que si $W$ tiene un límite de $\Sigma$, entonces el producto de la ruta integral de la quirales fermión $\psi$ a $\Sigma$ y el factor de $\Phi$ es suave y bien definida debido a la Libera-Dai teorema.
Sin embargo, en nuestro caso, el colector $W$ sí es el límite de la $3+1$-colector $X$, y por lo $W$ no tiene bounday a todos. ¿Cómo se debe entender la explicación dada por los autores?
